導數計算器

在數學分析和物理學中，導數被廣泛使用，描述複雜的函數和變數。 後者可能包括電壓、化學反應和運動速度。

即任何難以或不可能描述為恆定值的量。 例如，行駛中的汽車在行駛過程中多次加速和減速的速度。 函數的數學導數旨在描述、系統化和分析這些量。

函數的導數

根據官方定義，導數是當函數自變數趨於零時，函數增量與其自變數增量之比的極限。 計算導數的過程稱為微分。 並且只有當函數具有有限導數時，才稱為可微分。

函數可以描述為一個量對另一個量的依賴性，並在座標平面中描繪為一條線。 區分它：

• 取 x 軸上的 x 值。
• 將選定的 x 值代入公式 y = f(x)。
• 取得 x, y 格式的點座標。
• 構造一個座標為 x、y 的點。
• 我們重複此過程，替換所有其他 x 值。

導數會顯示 y 值的增量大於或小於 x 值的增量多少倍。 這些增量的比率描述為 dy/dx，導數為 f(x)。

一點歷史

早在 15 世紀，導數就開始在數學中使用 - 以確定彈體飛行範圍對火砲傾角的依賴性。 第一個使用這種技巧的是義大利數學家 Niccolo Fontana Tartaglia。

17世紀，來自瑞士的伯努利兄弟開始認真研究衍生性商品。 弟弟約翰·伯努利 (Johann Bernoulli) 首次發表了微分學的系統介紹，成為 1687 年「無窮小分析」的基礎。 到 1742 年，這位科學家也完成了積分微積分課程的開發，並提出了求解常微分方程的新方法。

約翰的哥哥雅各·伯努利 (Jacob Bernoulli) 使用導數來求出平坦曲線的曲率，並用它來研究對數螺線。 「積分」這個名字的作者是雅各·伯努利，事實上，「積分」是微分的反義詞。

17-18世紀之交的伯努利兄弟對導數的研究做出了巨大貢獻，為數學變分法奠定了基礎。

在歐洲17世紀到19世紀期間，其他傑出的科學家也參與了導數的研究：萊布尼茨、牛頓、拉格朗日、雅可比、維爾斯特拉斯、勒讓德。 例如，微分的現代表示法- d(x) - 由戈特弗里德·威廉·萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz) 引入，帶有素數的導數的表示法- f'(x) - 由約瑟夫·路易斯·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange) 引入。

「導數」一詞本身是由拉格朗日於 1797 年首次使用的。 這個字是法文deree的翻譯，源自derive - “派生”。

隨後，許多歐洲數學家使用了法國引入的符號，而「delta」（∇）符號直到 1853 年才出現，這要歸功於愛爾蘭數學家 William Rowan Hamilton。

雲霄飛車類比

為了更容易理解函數並找到其導數，可以用舉世聞名的遊樂設施——過山車做一個簡單的類比。 如果從側面觀察，您甚至可以通過肉眼，無需複雜的計算，確定小車運動的主要特徵：在哪些區域上升/下降，在哪裡加速/減速，多少次它將跨越上升/下降之間的界限。< /p>

平面上描繪的函數可以用完全相同的方式來描述。 在不同的領域，它會以不同的方式增加和減少——這個過程可以使用導數來描述和確定。 為此，我們引入以下定義：

• 函數增量是y軸上的值之間的差。
• 參數增量是 x 軸上的值之間的差。
• 函數的變化率是其增量與參數增量的比率：dy/dx.

參數x的增量越小，計算的精度越高。 當自變數的增量趨於零時，可以獲得最高的準確度。 在這種情況下，求導數將需要進行大量趨於無窮大的計算（根據精度/梯度進行調整）。

如果這個任務對一個人來說太困難，那麼現代電腦可以瞬間處理它。 使用特殊的線上應用程式就足夠了，該應用程式可以使用輸入的資料找到函數的導數，即使它們包含在具有正弦、餘弦、根和指數的複雜公式中。