Máy tính đạo hàm
![Máy tính đạo hàm](/media/images/derivative_calculator.webp)
Trong phân tích toán học và vật lý, đạo hàm được sử dụng rộng rãi, mô tả các hàm và biến phức tạp. Cái sau có thể bao gồm điện áp, phản ứng hóa học và tốc độ chuyển động.
Nghĩa là bất kỳ đại lượng nào khó hoặc không thể mô tả dưới dạng giá trị không đổi. Ví dụ, tốc độ của một chiếc ô tô đang chuyển động tăng tốc và giảm tốc nhiều lần khi đang lái xe. Đạo hàm toán học của hàm số nhằm mô tả, hệ thống hóa và phân tích các đại lượng đó.
Đạo hàm của hàm
Theo định nghĩa chính thức, đạo hàm là giới hạn của tỷ lệ giữa mức tăng của hàm và mức tăng của đối số của nó khi đối số có xu hướng bằng 0. Quá trình tính đạo hàm được gọi là vi phân. Và một hàm số chỉ được gọi là khả vi nếu nó có đạo hàm hữu hạn.
Một hàm số có thể được mô tả dưới dạng sự phụ thuộc của đại lượng này vào đại lượng khác và được mô tả trong mặt phẳng tọa độ dưới dạng một đường thẳng. Để phân biệt nó:
- Lấy giá trị x trên trục x.
- Thay thế giá trị x đã chọn vào công thức y = f(x).
- Lấy tọa độ của điểm ở định dạng x, y.
- Tạo một điểm có tọa độ x, y.
- Chúng tôi lặp lại quy trình này, thay thế tất cả các giá trị x khác.
Đạo hàm sẽ hiển thị số gia của giá trị y lớn hơn hoặc nhỏ hơn số gia của giá trị x bao nhiêu lần. Tỷ lệ của các số gia này được mô tả là dy/dx và đạo hàm là f(x).
Một chút lịch sử
Đạo hàm bắt đầu được sử dụng trong toán học từ thế kỷ 15 - để xác định sự phụ thuộc của tầm bay của đạn vào độ nghiêng của súng. Người đầu tiên sử dụng kỹ thuật này là nhà toán học người Ý Niccolo Fontana Tartaglia.
Và vào thế kỷ 17, anh em nhà Bernoulli đến từ Thụy Sĩ bắt đầu nghiên cứu phái sinh một cách nghiêm túc. Người em trai, Johann Bernoulli, lần đầu tiên xuất bản một bài trình bày có hệ thống về phép tính vi phân, trở thành nền tảng cho “Giải tích vô hạn” vào năm 1687. Đến năm 1742, nhà khoa học này cũng đã hoàn thành việc xây dựng giáo trình về phép tính tích phân và đề xuất các phương pháp mới để giải phương trình vi phân thông thường.
Anh trai của Johann, Jacob Bernoulli, đã sử dụng đạo hàm để tìm độ cong của một đường cong phẳng, đồng thời cũng sử dụng nó để nghiên cứu đường xoắn ốc logarit. Chính Jacob Bernoulli là tác giả của cái tên “tích phân”, trên thực tế, nó trái ngược với vi phân.
Anh em nhà Bernoulli vào đầu thế kỷ 17-18 đã có đóng góp to lớn cho việc nghiên cứu đạo hàm và đặt nền móng cho phép tính biến phân.
Trong giai đoạn từ thế kỷ 17 đến thế kỷ 19 ở châu Âu, các nhà khoa học lỗi lạc khác cũng tham gia nghiên cứu đạo hàm: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Ví dụ, ký hiệu hiện đại cho vi phân - d(x) - được giới thiệu bởi Gottfried Wilhelm Leibniz, và ký hiệu cho đạo hàm với số nguyên tố - f'(x) - bởi Joseph Louis Lagrange.
Bản thân thuật ngữ “phái sinh” được Lagrange sử dụng lần đầu tiên vào năm 1797. Từ này là bản dịch của từ phái sinh trong tiếng Pháp, có nguồn gốc từ phái sinh - “có nguồn gốc”.
Sau đó, nhiều nhà toán học châu Âu đã sử dụng ký hiệu được giới thiệu ở Pháp và ký hiệu “delta” (∇) chỉ xuất hiện vào năm 1853, nhờ nhà toán học người Ireland William Rowan Hamilton.
Tương tự tàu lượn siêu tốc
Để dễ hiểu hơn về hàm số và tìm đạo hàm của chúng, bạn có thể sử dụng một phép tương tự đơn giản với điểm thu hút nổi tiếng thế giới - tàu lượn siêu tốc. Nếu bạn nhìn chúng từ bên cạnh, bạn thậm chí có thể bằng mắt mà không cần tính toán phức tạp để xác định các đặc điểm chính của chuyển động của xe đẩy: nó sẽ tăng/giảm ở khu vực nào, nó sẽ tăng tốc/chậm lại ở đâu, bao nhiêu lần nó sẽ vượt qua ranh giới giữa đi lên/đi xuống.
Hàm được mô tả trên mặt phẳng có thể được mô tả theo cách tương tự. Ở những khu vực khác nhau, nó sẽ tăng và giảm theo những cách khác nhau - quá trình này có thể được mô tả và xác định bằng cách sử dụng đạo hàm. Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu các định nghĩa sau:
- Gia số hàm là chênh lệch giữa các giá trị trên trục y.
- Gia số của đối số là chênh lệch giữa các giá trị trên trục x.
- Tốc độ thay đổi của hàm là tỷ lệ giữa mức tăng của hàm và mức tăng của đối số: dy/dx.
Gia số của đối số x càng nhỏ thì độ chính xác của phép tính càng cao. Độ chính xác cao nhất đạt được khi mức tăng của đối số có xu hướng bằng không. Trong trường hợp này, việc tìm đạo hàm sẽ yêu cầu một số phép tính có xu hướng tiến tới vô cùng (được điều chỉnh về độ chính xác/độ phân cấp).
Nếu nhiệm vụ này quá khó đối với một người thì máy tính hiện đại có thể xử lý nó trong tích tắc. Chỉ cần sử dụng một ứng dụng trực tuyến đặc biệt sẽ tìm đạo hàm của hàm bằng cách sử dụng dữ liệu đã nhập, ngay cả khi chúng được đưa vào các công thức phức tạp với sin, cos, căn và số mũ.