ڈیریویٹیو کیلکولیٹر
![ڈیریویٹیو کیلکولیٹر](/media/images/derivative_calculator.webp)
ریاضیاتی تجزیہ اور طبیعیات میں، مشتق کو وسیع پیمانے پر استعمال کیا جاتا ہے، جو پیچیدہ افعال اور متغیرات کو بیان کرتا ہے۔ مؤخر الذکر میں برقی وولٹیج، کیمیائی رد عمل، اور حرکت کی رفتار شامل ہو سکتی ہے۔
یعنی کوئی بھی مقدار جس کو مستقل قدر کے طور پر بیان کرنا مشکل یا ناممکن ہو۔ مثال کے طور پر، چلتی ہوئی کار کی رفتار جو ڈرائیونگ کے دوران کئی بار تیز اور سست ہوتی ہے۔ فنکشن کا ریاضیاتی مشتق کا مقصد ایسی مقداروں کو بیان کرنا، منظم کرنا اور تجزیہ کرنا ہے۔
کسی فنکشن کا مشتق
آفیشل تعریف کے مطابق، مشتق کسی فنکشن کے انکریمنٹ کے تناسب کی حد ہے اور اس کی دلیل کے اضافے سے جب مؤخر الذکر صفر کی طرف جاتا ہے۔ مشتق کا حساب لگانے کے عمل کو تفریق کہا جاتا ہے۔ اور کسی فنکشن کو ڈیریری ایبل صرف اسی صورت میں کہا جاتا ہے جب اس کا ایک محدود مشتق ہو۔
ایک فنکشن کو ایک مقدار کے دوسرے پر انحصار کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، اور کوآرڈینیٹ جہاز میں ایک لائن کے طور پر دکھایا جا سکتا ہے۔ اس میں فرق کرنے کے لیے:
- x-محور پر x قدر لیں۔
- منتخب شدہ x قدر کو فارمولہ y = f(x) میں بدل دیں۔
- پوائنٹ کے نقاط کو x، y فارمیٹ میں حاصل کریں۔
- کوآرڈینیٹ x, y کے ساتھ ایک نقطہ بنائیں۔
- ہم اس طریقہ کار کو دہراتے ہیں، باقی تمام x اقدار کو بدل دیتے ہیں۔
ماخوذ ظاہر کرے گا کہ y قدر میں کتنی بار اضافہ x قدر میں اضافے سے زیادہ یا کم ہے۔ ان انکریمنٹ کا تناسب dy/dx، اور مشتق کو f(x) کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔
ایک چھوٹی سی تاریخ
15 ویں صدی میں ریاضی میں مشتقات کا استعمال شروع ہوا - بندوقوں کے جھکاؤ پر پروجیکٹائل کی پرواز کی حد کے انحصار کا تعین کرنے کے لیے۔ اس تکنیک کو استعمال کرنے والے سب سے پہلے اطالوی ریاضی دان نکولو فونٹانا ٹارٹاگلیہ تھے۔
اور 17ویں صدی میں، سوئٹزرلینڈ کے برنولی بھائیوں نے سنجیدگی سے مشتقات کا مطالعہ کرنا شروع کیا۔ چھوٹے بھائی، جوہان برنولی نے سب سے پہلے تفریق کیلکولس کی ایک منظم پیشکش شائع کی، جو 1687 میں "انفینیٹسیمل اینالیسس" کی بنیاد بنی۔ 1742 تک، سائنسدان نے انٹیگرل کیلکولس پر ایک کورس کی ترقی بھی مکمل کی اور عام تفریق مساوات کو حل کرنے کے لیے نئے طریقے تجویز کیے.
جوہان کے بڑے بھائی، جیکب برنولی نے مشتق کو ایک چپٹی خمیدہ لکیر کی گھماؤ تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا، اور اسے لوگاریتھمک سرپل کا مطالعہ کرنے کے لیے بھی استعمال کیا۔ یہ جیکب برنولی ہی تھے جو "انٹیگرل" نام کے مصنف تھے، جو درحقیقت تفریق کا مخالف ہے۔
برنولی برادران نے 17 ویں-18 ویں صدی کے آخر میں مشتقات کے مطالعہ میں بہت بڑا تعاون کیا، اور تغیرات کے ریاضیاتی حساب کتاب کی بنیاد رکھی۔
یورپ میں 17ویں سے 19ویں صدی کے عرصے میں، دیگر نامور سائنسدان بھی مشتقات کے مطالعہ میں شامل تھے: لیبنز، نیوٹن، لگرینج، جیکوبی، ویرسٹراس، لیجنڈر۔ مثال کے طور پر، فرق کے لیے جدید اشارے - d(x) - کو Gottfried Wilhelm Leibniz نے متعارف کرایا، اور ایک پرائم - f'(x) - کے ساتھ مشتق کے لیے اشارے جوزف لوئس لگرینج نے متعارف کرایا۔
اصطلاح "ماخوذ" خود سب سے پہلے 1797 میں Lagrange نے استعمال کی تھی۔ یہ لفظ فرانسیسی derivee کا ترجمہ ہے، جو derive - "dirived" سے آیا ہے۔
بعد میں، بہت سے یورپی ریاضی دانوں نے فرانس میں متعارف کرائے گئے اشارے کا استعمال کیا، اور اشارے "ڈیلٹا" (∇) صرف 1853 میں ظاہر ہوا، آئرش ریاضی دان ولیم روون ہیملٹن کی بدولت۔
رولر کوسٹر کی مشابہت
فنکشنز کو سمجھنے اور ان کے مشتقات کو تلاش کرنے میں آسانی پیدا کرنے کے لیے، آپ دنیا کی مشہور کشش کے ساتھ ایک سادہ تشبیہ استعمال کر سکتے ہیں - ایک رولر کوسٹر۔ اگر آپ انہیں ایک طرف سے دیکھیں تو آپ بغیر کسی پیچیدہ حساب کے، آنکھوں سے ٹرالی کی نقل و حرکت کی اہم خصوصیات کا تعین کر سکتے ہیں: یہ کن علاقوں میں اوپر/نیچے گا، کہاں اس کی رفتار/سست ہوگی، کتنی بار یہ چڑھائی / نزول کے درمیان کی حدود کو عبور کرے گا۔
ہوائی جہاز پر دکھائے گئے فنکشن کو بالکل اسی طرح بیان کیا جا سکتا ہے۔ مختلف علاقوں میں یہ مختلف طریقوں سے بڑھتا اور گھٹتا ہے - اس عمل کو مشتق کا استعمال کرتے ہوئے بیان اور تعین کیا جا سکتا ہے۔ ایسا کرنے کے لیے، ہم درج ذیل تعریفیں متعارف کراتے ہیں:
- فنکشن انکریمنٹ y-axis پر موجود اقدار کے درمیان فرق ہے۔
- دلیل میں اضافہ x-axis پر موجود اقدار کے درمیان فرق ہے۔
- کسی فنکشن کی تبدیلی کی شرح دلیل کے اضافے کے ساتھ اس کے اضافے کا تناسب ہے: dy/dx۔
دلیل x کا اضافہ جتنا چھوٹا ہوگا، حسابات کی درستگی اتنی ہی زیادہ ہوگی۔ سب سے زیادہ درستگی اس وقت حاصل کی جاتی ہے جب دلیل کا اضافہ صفر ہو جائے۔ اس صورت میں، مشتقات تلاش کرنے کے لیے متعدد حسابات کی ضرورت ہوگی جو لامحدودیت کے لیے ہیں (درستگی/درجہ بندی کے لیے ایڈجسٹ)۔
اگر یہ کام کسی شخص کے لیے بہت مشکل ہے، تو جدید کمپیوٹر اسے ایک سیکنڈ میں ہینڈل کر سکتا ہے۔ ایک خاص آن لائن ایپلی کیشن کا استعمال کرنا کافی ہے جو درج کردہ ڈیٹا کا استعمال کرتے ہوئے فنکشن کا مشتق تلاش کرے گا، چاہے وہ سائنز، کوزائنز، روٹس اور ایکسپوننٹ کے ساتھ پیچیدہ فارمولوں میں شامل ہوں۔