😍 Калькулятор похідних

У математичному аналізі та фізиці широко застосовується похідна, що описує складні функції та змінні величини. Як останні можуть виступати електрична напруга, хімічні реакції, швидкість руху.

Тобто будь-яка величина, яку складно чи неможливо описати у вигляді постійного значення. Наприклад, швидкість автомобіля, що рухається, який багаторазово прискорюється і сповільнюється в процесі їзди. Для опису, систематизації та аналізу таких величин і призначена математична похідна функції.

Продуктивна функція

Згідно з офіційним визначенням, похідна — це межа відношення збільшення функції до збільшення її аргументу, коли останній прагне нуля. Процес обчислення похідної називають диференціюванням. А функцію називають диференційованою лише в тому випадку, коли вона має кінцеву похідну.

Функцію можна описати як залежність однієї величини від іншої, і зобразити її у площині координат у вигляді лінії. Для її диференціювання:

Беремо значення x на осі абсцис.
Підставляємо обране значення х до формули y = f(x).
Отримуємо координати точки у форматі x, y.
Будуємо точку з координатами x, y.
Повторюємо цей порядок дій, підставляючи всі інші значення x.

Виробна покаже у скільки разів збільшення значення y більше або менше збільшення значення x. Відношення цих прирощень описується як dy/dx, а похідна як f(x).

Трохи історії

Виробні почали використовувати в математиці ще в XV столітті — для визначення залежності дальності польоту снарядів від нахилу гармат. Першим цю методику застосував італійський математик Нікколо Фонтану Тарталья.

А в XVII столітті дослідженням похідних впритул зайнялися брати Бернуллі зі Швейцарії. Молодший брат - Йоганн Бернуллі - вперше опублікував систематичний виклад диференціального обчислення, що стало основою для «Аналізу нескінченно малих» 1687 року. До 1742 року вчений також закінчив розробку курсу інтегрального обчислення та запропонував нові методи вирішення звичайних диференціальних рівнянь.

Старший брат Йоганна - Якоб Бернуллі - використав похідну для знаходження кривизни плоскої кривої лінії, а також досліджував за її допомогою логарифмічну спіраль. Саме Якобу Бернуллі належить авторство назви «інтеграл», який, по суті, є протилежністю диференціалу.

Брати Бернуллі на рубежі XVII-XVIII століть зробили величезний внесок у дослідження похідних, і започаткували варіаційне математичне обчислення.

У період з XVII по XIX століття в Європі дослідженням похідних займалися й інші відомі вчені: Лейбніц, Ньютон, Лагранж, Якобі, Вейєрштрас, Лежандр. Наприклад, сучасне позначення диференціалу — d(x) — запровадив Готфрід Вільгельм Лейбніц, а позначення похідної зі штрихом — f'(x) — Жозеф Луї Лагранж.

Сам термін «похідна» був вперше застосований Лагранжем у 1797 році. Це слово є перекладом французького derivee, що походить від derive — похідний.

Згодом введеними у Франції позначеннями користувалися багато європейських математиків, а позначення «дельта» (∇) з'явилося лише 1853 року — завдяки ірландському математику Вільяму Роуену Гамільтону.

Аналогія з американськими гірками

Для спрощення розуміючи функції та знаходження їх похідних можна використовувати просту аналогію з всесвітньо відомим атракціоном — американськими гірками. Якщо дивитися на них збоку, можна навіть на око, без складних обчислень визначити основні особливості руху вагонетки: на яких ділянках буде її підйом/спуск, де вона прискорюватиметься/сповільнюватиметься, скільки разів вона подолає межі між підйомами/спусками.

Точно так само можна описати і функцію, зображену на площині. На різних ділянках вона зростатиме і зменшуватиметься по-різному — цей процес можна описати і визначити за допомогою похідної. Для цього введемо такі визначення:

Збільшення функції — різниця між значеннями на осі ординат y.
Приріст аргументу — різниця між значеннями на осі абсцис x.
Швидкість зміни функції — відношення її збільшення до збільшення аргументу: dy/dx.

Чим менше збільшення аргументу x, тим вище точність обчислень. Найвища точність досягається коли збільшення аргументу прагне нулю. У цьому випадку для знаходження похідних буде потрібно кількість обчислень, що прагне нескінченності (з поправкою на точність/градацію).

Якщо для людини це завдання надто складне, то сучасний комп'ютер впорається з ним за секунду. Досить використовувати спеціальний онлайн-додаток, який знайде похідну функції за введеними даними, навіть якщо вони включені до складних формул із синусами, косинусами, корінням, експонентами.

У математиці існує безліч різновидів похідних: приватні та повні, односторонні та варіаційні, по мірі та за напрямом, похідні Гато, Лі, Фреше.

Перелічувати та описувати їх відмінності не має сенсу, але варто розібратися з тим, що є похідною в її узагальненому вигляді, і як її можна використовувати в повсякденному житті.

Згідно з офіційним визначенням, похідна — це відношення збільшення функції до збільшення аргументу, коли останній прагне нуля. Формула виглядає так:

f'(x) = Δf / Δx, при Δx → 0.

Відповідно p'(x) — це позначення похідної, Δf — збільшення функції, а Δx — збільшення аргументу. Вираз дійсний при розгляді функції на площині: з віссю абсцис (x) та ординат (y).

Практичне застосування похідної

Помилково вважати, що функції та їх похідні — це суто математичні поняття, які не можуть стати в нагоді у повсякденному житті. Навпаки, ці складові математичного аналізу широко застосовуються не тільки в алгебрі та фізиці, але також у географії, біології, економіці, сфері IT, електротехніці.

Розглянемо наочний приклад, як можна використовувати похідну для оцінки зростання популярності відео в соціальних мережах.

Наприклад, ви завантажили відеоролик, який протягом першої години набрав 1 перегляд, протягом другої години — 3 перегляди, протягом третьої години їхня кількість дійшла до 9, а протягом четвертої години — до 16. Це можна уявити у вигляді функції, де годинник буде розташований на осі абсцис (x), а кількість переглядів - на осі ординат (y).

Поставивши навпроти кожної години відповідні значення переглядів, з'єднуємо їх лінією, що бере початок у точці 0. Якщо провести від точки, що відповідає другій годині, лінію, паралельну осі x, а від точки, що відповідає третій годині, лінію, паралельну осі y, вони перетнуться під графіком функції. Відібравши від 3 годин 2 години, а від 9 переглядів 4 перегляди (відповідні точці перетину ліній), отримаємо:

f'(x) = Δf / Δx = 5 / 1 = 5.

Це і є похідна, що означає, що означає, що середня ефективність вашого відеоролика за час від 0 до 4 годин - 5 переглядів на годину. Аналогічний розрахунок можна провести щодо будь-яких інших взаємозалежних змінних величин: швидкості та пройденої відстані, сили струму та напруги, часу та частоти.

Застосування похідної в різних сферах

Важко знайти хоча б одну сферу життєдіяльності людини, де, у тому чи іншому вигляді, не використовувалися б математичні закони.

У випадку з функціями та їх похідними, які є частиною матаналізу, найпоширенішими сферами є електротехніка, економіка, фізика, хімія, біологія, географія та соціологія.

Їх складно уявити не тільки без інтегрування, а й без диференціювання, яке є знаходженням похідних функцій. За допомогою похідних сьогодні визначають:

Очікуване зменшення/збільшення доходу при підвищенні цін на товари.
Залежність доходів бюджету від запровадження тих чи інших мит.
Енергоефективність електротехнічного обладнання, що працює на змінному струмі.
Швидкість та динаміку протікання хімічних реакцій.
Вплив біологічних популяцій один на одного в рамках загальних ореолів проживання.
Особливості електромагнітного поля Землі.
Ядерно-геофізичні показники.
Очікувана кількість населення в окремих містах та країнах.

Найчастіше аргументом (x) у таких дослідженнях є час (t), а функцією — величина, що змінюється щодо нього: кількість, швидкість, напруга, маса. Чим частіше проводити її виміри в динаміці, тим меншим буде аргумент (x), і тим вищою буде точність диференціювання.

Наприклад, якщо фіксувати показання спідометра кожні 30 секунд, ви отримаєте набагато точніший графік функції, ніж якщо знімати виміри раз на 7-10 хвилин.

Незамінна похідна й у соціологічних дослідженнях. Свого часу вона лягла в основу соціальної моделі Томаса Мальтуса (Thomas Malthus) і об'єктивно відображала приріст населення пропорційно до кількості населення в даний момент часу.

Ця модель застосовувалася в Сполучених Штатах у період з 1790-х по 1860-і роки, але потім була скасована через фундаментальні зміни в динаміці демографії: не тільки в США, а й у всьому світі. Але це не означає, що похідна стала марною у цій сфері. Просто одну функцію з двох взаємозалежних величин замінили іншими, які краще відображають сучасні реалії.

PLANETCALC, Derivative calculator