Türev hesaplayıcı
![Türev hesaplayıcı](/media/images/derivative_calculator.webp)
Matematiksel analizde ve fizikte türev, karmaşık fonksiyonları ve değişkenleri açıklayarak yaygın olarak kullanılır. İkincisi elektrik voltajını, kimyasal reaksiyonları ve hareket hızını içerebilir.
Yani, sabit bir değer olarak tanımlanması zor veya imkansız olan herhangi bir miktar. Örneğin, hareket halindeki bir arabanın hızının sürüş sırasında birçok kez hızlanıp yavaşlaması. Bir fonksiyonun matematiksel türevinin bu tür büyüklükleri tanımlaması, sistematik hale getirmesi ve analiz etmesi amaçlanır.
Bir fonksiyonun türevi
Resmi tanıma göre türev, bir fonksiyonun artışının, argümanının sıfıra yaklaştığı durumdaki artışına oranının limitidir. Türevi hesaplama işlemine farklılaşma denir. Ve bir fonksiyon ancak sonlu bir türevi varsa türevlenebilir olarak adlandırılır.
Bir fonksiyon, bir büyüklüğün diğerine bağımlılığı olarak tanımlanabilir ve koordinat düzleminde bir çizgi olarak gösterilebilir. Bunu ayırt etmek için:
- X eksenindeki x değerini alın.
- Seçilen x değerini y = f(x) formülünde değiştirin.
- Noktanın koordinatlarını x, y formatında alın.
- X, y koordinatlarına sahip bir nokta oluşturun.
- Diğer tüm x değerlerini değiştirerek bu prosedürü tekrarlıyoruz.
Türev, y değerindeki artışın x değerindeki artıştan kaç kat büyük veya küçük olduğunu gösterecektir. Bu artışların oranı dy/dx, türevi ise f(x) olarak tanımlanır.
Küçük bir tarih
Türevler matematikte 15. yüzyılda kullanılmaya başlandı; mermilerin uçuş menzilinin silahların eğimine bağımlılığını belirlemek için. Bu tekniği ilk kullanan İtalyan matematikçi Niccolo Fontana Tartaglia'ydı.
Ve 17. yüzyılda İsviçreli Bernoulli kardeşler türevler üzerinde ciddi olarak çalışmaya başladılar. Küçük erkek kardeş Johann Bernoulli, diferansiyel hesabın sistematik bir sunumunu ilk kez yayınladı ve bu, 1687'de "Sonsuz Küçük Analiz"in temeli oldu. 1742'ye gelindiğinde bilim adamı ayrıca integral hesabı üzerine bir dersin geliştirilmesini tamamladı ve sıradan diferansiyel denklemlerin çözümü için yeni yöntemler önerdi.
Johann'ın ağabeyi Jacob Bernoulli, türevi düz bir eğri çizginin eğriliğini bulmak için kullandı ve aynı zamanda logaritmik spirali incelemek için de kullandı. Aslında diferansiyelin zıttı olan “integral” isminin yazarı Jacob Bernoulli'ydi.
17. ve 18. yüzyılların başında Bernoulli kardeşler türev çalışmalarına büyük katkılarda bulundular ve matematiksel varyasyon hesabının temelini attılar.
Avrupa'da 17. yüzyıldan 19. yüzyıla kadar olan dönemde diğer seçkin bilim adamları da türev çalışmalarına dahil oldu: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Örneğin, diferansiyelin modern gösterimi - d(x) - Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından ve asal sayıya sahip türevin gösterimi - f'(x) - Joseph Louis Lagrange tarafından ortaya atıldı.
“Türev” terimi ilk kez 1797'de Lagrange tarafından kullanıldı. Bu kelime, türetme - "türetilmiş" kelimesinden gelen Fransızca türevinin bir çevirisidir.
Daha sonra birçok Avrupalı matematikçi Fransa'da kullanılmaya başlanan notasyonu kullandı ve "delta" (∇) notasyonu İrlandalı matematikçi William Rowan Hamilton sayesinde ancak 1853'te ortaya çıktı.
Hız treni benzetmesi
Fonksiyonları anlamayı ve türevlerini bulmayı kolaylaştırmak için, dünyaca ünlü cazibe merkezi olan hız trenine basit bir benzetme kullanabilirsiniz. Onlara yandan bakarsanız, karmaşık hesaplamalar yapmadan, arabanın hareketinin ana özelliklerini gözle bile belirleyebilirsiniz: hangi alanlarda yükselecek/alçalacak, nerede hızlanacak/yavaşlayacak, kaç kez yükselişler/inişler arasındaki sınırları aşacaktır.
Düzlemde gösterilen fonksiyon da tam olarak aynı şekilde tanımlanabilir. Farklı alanlarda farklı şekillerde artacak ve azalacaktır - bu süreç bir türev kullanılarak tanımlanabilir ve belirlenebilir. Bunu yapmak için aşağıdaki tanımları sunuyoruz:
- Fonksiyon artışı, y eksenindeki değerler arasındaki farktır.
- Argüman artışı, x eksenindeki değerler arasındaki farktır.
- Bir fonksiyonun değişim oranı, artışının bağımsız değişkenin artışına oranıdır: dy/dx.
X argümanının artışı ne kadar küçük olursa, hesaplamaların doğruluğu da o kadar yüksek olur. En yüksek doğruluk, argümanın artışı sıfıra yaklaştığında elde edilir. Bu durumda türevleri bulmak, sonsuza uzanan (doğruluk/derecelendirmeye göre ayarlanmış) bir takım hesaplamalar gerektirecektir.
Bu görev bir kişi için çok zorsa, modern bir bilgisayar bu işi bir saniyede halledebilir. Sinüs, kosinüs, kök ve üslü karmaşık formüllerde yer alsalar bile, girilen verileri kullanarak bir fonksiyonun türevini bulacak özel bir çevrimiçi uygulama kullanmak yeterlidir.