Calculator ng derivative
Sa mathematical analysis at physics, ang derivative ay malawakang ginagamit, na naglalarawan ng mga kumplikadong function at variable. Maaaring kabilang sa huli ang boltahe ng kuryente, mga kemikal na reaksyon, at bilis ng paggalaw.
Ibig sabihin, anumang dami na mahirap o imposibleng ilarawan bilang pare-parehong halaga. Halimbawa, ang bilis ng umaandar na sasakyan na bumibilis at bumababa nang maraming beses habang nagmamaneho. Ang mathematical derivative ng isang function ay nilayon upang ilarawan, i-systematize at suriin ang mga naturang dami.
Derivative ng isang function
Ayon sa opisyal na kahulugan, ang derivative ay ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng isang function sa pagtaas ng argumento nito kapag ang huli ay nagiging zero. Ang proseso ng pagkalkula ng derivative ay tinatawag na differentiation. At ang isang function ay tinatawag na differentiable lamang kung mayroon itong finite derivative.
Ang isang function ay maaaring ilarawan bilang ang pagdepende ng isang dami sa isa pa, at ilarawan sa coordinate plane bilang isang linya. Upang maiiba ito:
- Kunin ang x value sa x-axis.
- Palitan ang napiling x value sa formula na y = f(x).
- Kunin ang mga coordinate ng punto sa x, y na format.
- Bumuo ng isang punto na may mga coordinate x, y.
- Uulitin namin ang pamamaraang ito, pinapalitan ang lahat ng iba pang halaga ng x.
Ipapakita ng derivative kung gaano karaming beses ang pagtaas sa y value ay mas malaki o mas mababa kaysa sa pagtaas sa x value. Inilalarawan ang ratio ng mga increment na ito bilang dy/dx, at ang derivative bilang f(x).
Munting kasaysayan
Nagsimulang gamitin ang mga derivative sa matematika noong ika-15 siglo - upang matukoy ang pagdepende ng hanay ng paglipad ng mga projectiles sa hilig ng mga baril. Ang unang gumamit ng diskarteng ito ay ang Italyano na matematiko na si Niccolo Fontana Tartaglia.
At noong ika-17 siglo, ang magkapatid na Bernoulli mula sa Switzerland ay nagsimulang mag-aral ng mga derivatives nang masigasig. Ang nakababatang kapatid na si Johann Bernoulli, ay unang naglathala ng isang sistematikong pagtatanghal ng differential calculus, na naging batayan para sa "Infinitesimal Analysis" noong 1687. Noong 1742, natapos din ng siyentipiko ang pagbuo ng isang kurso sa integral calculus at nagmungkahi ng mga bagong pamamaraan para sa paglutas ng mga ordinaryong differential equation.
Ginamit ng nakatatandang kapatid ni Johann, si Jacob Bernoulli, ang derivative upang mahanap ang curvature ng flat curved line, at ginamit din ito para pag-aralan ang logarithmic spiral. Si Jacob Bernoulli ang may-akda ng pangalang "integral", na, sa katunayan, ay kabaligtaran ng isang kaugalian.
Ang magkapatid na Bernoulli noong ika-17 hanggang ika-18 na siglo ay gumawa ng malaking kontribusyon sa pag-aaral ng mga derivatives, at inilatag ang pundasyon para sa mathematical calculus of variations.
Sa panahon mula ika-17 hanggang ika-19 na siglo sa Europa, ang iba pang mga kilalang siyentipiko ay kasangkot din sa pag-aaral ng mga derivatives: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Halimbawa, ang modernong notasyon para sa isang differential - d(x) - ay ipinakilala ni Gottfried Wilhelm Leibniz, at ang notasyon para sa isang derivative na may prime - f'(x) - ni Joseph Louis Lagrange.
Ang terminong "derivative" mismo ay unang ginamit ni Lagrange noong 1797. Ang salitang ito ay pagsasalin ng French derivee, na nagmula sa derive - “derived.”
Kasunod nito, maraming European mathematician ang gumamit ng notasyong ipinakilala sa France, at ang notasyong "delta" (∇) ay lumitaw lamang noong 1853, salamat sa Irish mathematician na si William Rowan Hamilton.
Roller coaster analogy
Upang gawing mas madaling maunawaan ang mga function at mahanap ang mga derivative ng mga ito, maaari kang gumamit ng isang simpleng pagkakatulad sa sikat na atraksyon sa mundo - isang roller coaster. Kung titingnan mo ang mga ito mula sa gilid, maaari mong kahit na sa pamamagitan ng mata, nang walang kumplikadong mga kalkulasyon, matukoy ang mga pangunahing tampok ng paggalaw ng troli: sa kung anong mga lugar ito tataas / bababa, kung saan ito mapabilis / mabagal, kung gaano karaming beses tatawid ito sa mga hangganan sa pagitan ng pag-akyat/pagbaba.
Ang function na inilalarawan sa eroplano ay maaaring ilarawan nang eksakto sa parehong paraan. Sa iba't ibang lugar ito ay tataas at bababa sa iba't ibang paraan - ang prosesong ito ay maaaring ilarawan at matukoy gamit ang isang derivative. Upang gawin ito, ipinakilala namin ang mga sumusunod na kahulugan:
- Ang pagtaas ng function ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga sa y-axis.
- Ang pagtaas ng argumento ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga sa x-axis.
- Ang rate ng pagbabago ng isang function ay ang ratio ng increment nito sa increment ng argument: dy/dx.
Kung mas maliit ang pagtaas ng argumentong x, mas mataas ang katumpakan ng mga kalkulasyon. Ang pinakamataas na katumpakan ay nakakamit kapag ang pagtaas ng argumento ay nagiging zero. Sa kasong ito, ang paghahanap ng mga derivative ay mangangailangan ng ilang kalkulasyon na may posibilidad na infinity (isinasaayos para sa katumpakan/gradasyon).
Kung ang gawaing ito ay masyadong mahirap para sa isang tao, kung gayon ang isang modernong computer ay maaaring hawakan ito sa isang segundo. Sapat na ang gumamit ng espesyal na online na application na makakahanap ng derivative ng isang function gamit ang inilagay na data, kahit na kasama ang mga ito sa mga kumplikadong formula na may mga sine, cosine, ugat, at exponent.
