เครื่องคำนวณอนุพันธ์
![เครื่องคำนวณอนุพันธ์](/media/images/derivative_calculator.webp)
ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ มีการใช้อนุพันธ์อย่างกว้างขวาง โดยอธิบายฟังก์ชันและตัวแปรที่ซับซ้อน อย่างหลังอาจรวมถึงแรงดันไฟฟ้า ปฏิกิริยาเคมี และความเร็วในการเคลื่อนที่
นั่นคือปริมาณใดๆ ที่ยากหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะอธิบายว่าเป็นค่าคงที่ เช่น ความเร็วของรถที่กำลังเคลื่อนที่ซึ่งเร่งและลดความเร็วหลายครั้งในขณะขับขี่ อนุพันธ์ทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันมีวัตถุประสงค์เพื่ออธิบาย จัดระบบ และวิเคราะห์ปริมาณดังกล่าว
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตามคำจำกัดความอย่างเป็นทางการ อนุพันธ์คือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์ กระบวนการคำนวณอนุพันธ์เรียกว่าการสร้างความแตกต่าง และฟังก์ชันจะเรียกว่าหาอนุพันธ์ได้ก็ต่อเมื่อมีอนุพันธ์จำกัด
ฟังก์ชันสามารถอธิบายได้ว่าเป็นการพึ่งพาปริมาณหนึ่งกับอีกปริมาณหนึ่ง และแสดงเป็นเส้นตรงในระนาบพิกัด หากต้องการแยกความแตกต่าง:
- รับค่า x บนแกน x
- แทนค่า x ที่เลือกลงในสูตร y = f(x)
- รับพิกัดของจุดในรูปแบบ x, y
- สร้างจุดด้วยพิกัด x, y
- เราทำซ้ำขั้นตอนนี้ โดยแทนที่ค่า x อื่นๆ ทั้งหมด
อนุพันธ์จะแสดงจำนวนครั้งที่การเพิ่มขึ้นของค่า y มากกว่าหรือน้อยกว่าการเพิ่มขึ้นของค่า x อัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นเหล่านี้อธิบายเป็น dy/dx และอนุพันธ์เป็น f(x)
ประวัติเล็กน้อย
อนุพันธ์เริ่มถูกนำมาใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 15 - เพื่อกำหนดความขึ้นอยู่กับระยะการบินของโพรเจกไทล์กับการเอียงของปืน คนแรกที่ใช้เทคนิคนี้คือ Niccolo Fontana Tartaglia นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี
และในศตวรรษที่ 17 พี่น้องเบอร์นูลลีจากสวิตเซอร์แลนด์เริ่มศึกษาอนุพันธ์อย่างจริงจัง โยฮันน์ เบอร์นูลลี น้องชาย ตีพิมพ์การนำเสนอแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์อย่างเป็นระบบเป็นครั้งแรก ซึ่งกลายเป็นพื้นฐานสำหรับ "การวิเคราะห์ระดับจิ๋ว" ในปี 1687 ภายในปี 1742 นักวิทยาศาสตร์ยังได้สำเร็จการพัฒนาหลักสูตรเกี่ยวกับแคลคูลัสอินทิกรัลและเสนอวิธีการใหม่ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ
จาค็อบ แบร์นูลลี พี่ชายของโยฮันน์ ใช้อนุพันธ์เพื่อหาความโค้งของเส้นโค้งแบน และยังใช้มันเพื่อศึกษาวงก้นหอยลอการิทึมด้วย Jacob Bernoulli เป็นผู้แต่งชื่อ "อินทิกรัล" ซึ่งจริงๆ แล้วตรงกันข้ามกับดิฟเฟอเรนเชียล
พี่น้องแบร์นูลลีในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 17-18 มีส่วนสนับสนุนอย่างมากในการศึกษาอนุพันธ์ และวางรากฐานสำหรับแคลคูลัสทางคณิตศาสตร์ของการแปรผัน
ในช่วงศตวรรษที่ 17 ถึงศตวรรษที่ 19 ในยุโรป นักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงคนอื่นๆ ยังได้มีส่วนร่วมในการศึกษาอนุพันธ์อีกด้วย: ไลบ์นิซ, นิวตัน, ลากรองจ์, จาโคบี, ไวเออร์สตราส, เลเจนเดร ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์สมัยใหม่สำหรับดิฟเฟอเรนเชียล - d(x) - ได้รับการแนะนำโดย Gottfried Wilhelm Leibniz และสัญกรณ์สำหรับอนุพันธ์ที่มีจำนวนเฉพาะ - f'(x) - โดย Joseph Louis Lagrange
คำว่า "อนุพันธ์" ถูกใช้ครั้งแรกโดย Lagrange ในปี 1797 คำนี้เป็นคำแปลของภาษาฝรั่งเศส ซึ่งมาจากคำว่า "derive" - "derived"
ต่อจากนั้น นักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปจำนวนมากใช้สัญลักษณ์ที่ใช้ในฝรั่งเศส และสัญลักษณ์ "เดลต้า" (∇) ปรากฏในปี 1853 เท่านั้น ต้องขอบคุณวิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน นักคณิตศาสตร์ชาวไอริช
การเปรียบเทียบรถไฟเหาะ
เพื่อให้เข้าใจฟังก์ชั่นต่างๆ ได้ง่ายขึ้นและค้นหาอนุพันธ์ของมัน คุณสามารถใช้การเปรียบเทียบง่ายๆ กับเครื่องเล่นที่มีชื่อเสียงระดับโลก นั่นก็คือ รถไฟเหาะ หากคุณมองจากด้านข้าง คุณสามารถทำได้ด้วยตาเปล่าโดยไม่ต้องคำนวณที่ซับซ้อน เพื่อกำหนดคุณสมบัติหลักของการเคลื่อนที่ของรถเข็น: ในพื้นที่ใดที่จะขึ้น/ลง ซึ่งจะเร่งความเร็ว/ช้าลงที่ใด กี่ครั้ง มันจะข้ามขอบเขตระหว่างขึ้น/ลง
ฟังก์ชันที่ปรากฎบนเครื่องบินสามารถอธิบายได้ในลักษณะเดียวกันทุกประการ ในพื้นที่ต่างๆ มันจะเพิ่มขึ้นและลดในลักษณะที่แตกต่างกัน - กระบวนการนี้สามารถอธิบายและกำหนดได้โดยใช้อนุพันธ์ ในการดำเนินการนี้ เราขอแนะนำคำจำกัดความต่อไปนี้:
- การเพิ่มฟังก์ชันคือความแตกต่างระหว่างค่าบนแกน y
- การเพิ่มอาร์กิวเมนต์คือความแตกต่างระหว่างค่าบนแกน x
- อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันคืออัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์: dy/dx
ยิ่งอาร์กิวเมนต์ x เพิ่มขึ้นน้อยลง ความแม่นยำในการคำนวณก็จะยิ่งสูงขึ้น ความแม่นยำสูงสุดจะเกิดขึ้นได้เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ในกรณีนี้ การค้นหาอนุพันธ์จะต้องมีการคำนวณหลายครั้งจนมีค่าอนันต์ (ปรับเพื่อความแม่นยำ/การไล่ระดับ)
หากงานนี้ยากเกินไปสำหรับบุคคล คอมพิวเตอร์สมัยใหม่ก็สามารถจัดการได้ภายในเสี้ยววินาที การใช้แอปพลิเคชันออนไลน์พิเศษที่จะค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้ข้อมูลที่ป้อนก็เพียงพอแล้ว แม้ว่าจะรวมอยู่ในสูตรที่ซับซ้อนที่มีไซน์ โคไซน์ ราก และเลขชี้กำลังก็ตาม