Kalkylator för derivat
![Kalkylator för derivat](/media/images/derivative_calculator.webp)
Inom matematisk analys och fysik används derivatan flitigt och beskriver komplexa funktioner och variabler. Det senare kan innefatta elektrisk spänning, kemiska reaktioner och rörelsehastighet.
Det vill säga varje storhet som är svår eller omöjlig att beskriva som ett konstant värde. Till exempel hastigheten på en bil i rörelse som accelererar och bromsar många gånger under körning. Den matematiska derivatan av en funktion är avsedd att beskriva, systematisera och analysera sådana storheter.
Derivat av en funktion
Enligt den officiella definitionen är derivatan gränsen för förhållandet mellan ökningen av en funktion och ökningen av dess argument när det senare tenderar till noll. Processen att beräkna derivatan kallas differentiering. Och en funktion kallas endast differentiabel om den har en finit derivata.
En funktion kan beskrivas som beroendet av en storhet av en annan, och avbildas i koordinatplanet som en linje. Så här särskiljer du det:
- Ta x-värdet på x-axeln.
- Ersätt det valda x-värdet med formeln y = f(x).
- Hämta koordinaterna för punkten i x-, y-format.
- Konstruera en punkt med koordinaterna x, y.
- Vi upprepar denna procedur och ersätter alla andra x-värden.
Derivatan visar hur många gånger ökningen i y-värdet är större eller mindre än ökningen i x-värdet. Förhållandet mellan dessa steg beskrivs som dy/dx, och derivatan som f(x).
En liten historia
Derivat började användas i matematik redan på 1400-talet - för att bestämma beroendet av projektilers flygområde på lutningen av kanoner. Den första som använde denna teknik var den italienske matematikern Niccolo Fontana Tartaglia.
Och på 1600-talet började bröderna Bernoulli från Schweiz studera derivat på allvar. Den yngre brodern, Johann Bernoulli, publicerade först en systematisk presentation av differentialkalkyl, som blev grunden för "Infinitesimal Analysis" 1687. År 1742 slutförde vetenskapsmannen också utvecklingen av en kurs i integralkalkyl och föreslog nya metoder för att lösa vanliga differentialekvationer.
Johanns äldre bror, Jacob Bernoulli, använde derivatan för att hitta krökningen av en platt krökt linje, och använde den även för att studera den logaritmiska spiralen. Det var Jacob Bernoulli som var författaren till namnet "integral", som i själva verket är motsatsen till en differential.
Bröderna Bernoulli vid sekelskiftet 1600- och 1700-talet gjorde ett enormt bidrag till studiet av derivator och lade grunden för den matematiska variationskalkylen.
Under perioden från 1600- till 1800-talet i Europa var även andra framstående vetenskapsmän involverade i studiet av derivat: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Till exempel introducerades den moderna notationen för en differential - d(x) - av Gottfried Wilhelm Leibniz, och notationen för en derivata med ett primtal - f'(x) - av Joseph Louis Lagrange.
Begreppet "derivat" användes först av Lagrange 1797. Detta ord är en översättning av franskans derivee, som kommer från härleda - "derived."
Därefter använde många europeiska matematiker notationen som introducerades i Frankrike, och notationen "delta" (∇) dök upp först 1853, tack vare den irländska matematikern William Rowan Hamilton.
Berg- och dalbana analogi
För att göra det lättare att förstå funktioner och hitta deras derivator kan du använda en enkel analogi med den världsberömda attraktionen - en berg-och dalbana. Om du tittar på dem från sidan kan du till och med med ögat, utan komplexa beräkningar, bestämma huvuddragen i vagnens rörelse: i vilka områden kommer den att stiga/sjunka, var den kommer att accelerera/bromsa, hur många gånger den kommer att passera gränserna mellan upp- och nedstigningar.
Funktionen som avbildas på planet kan beskrivas på exakt samma sätt. I olika områden kommer den att öka och minska på olika sätt - denna process kan beskrivas och bestämmas med hjälp av en derivata. För att göra detta introducerar vi följande definitioner:
- Funktionsökning är skillnaden mellan värdena på y-axeln.
- Argumentökningen är skillnaden mellan värdena på x-axeln.
- Förändringshastigheten för en funktion är förhållandet mellan dess ökning och ökningen av argumentet: dy/dx.
Ju mindre ökningen av argumentet x är, desto högre blir beräkningarnas noggrannhet. Den högsta noggrannheten uppnås när ökningen av argumentet tenderar till noll. I det här fallet kommer det att krävas ett antal beräkningar för att hitta derivator som tenderar mot oändlighet (justerat för noggrannhet/gradering).
Om denna uppgift är för svår för en person kan en modern dator hantera det på en bråkdel av en sekund. Det räcker med att använda en speciell onlineapplikation som hittar derivatan av en funktion med hjälp av inmatade data, även om de ingår i komplexa formler med sinus, cosinus, rötter och exponenter.