Derivacijski kalkulator
![Derivacijski kalkulator](/media/images/derivative_calculator.webp)
U matematičkoj analizi i fizici, izvod se široko koristi, opisuje složene funkcije i promenljive. Ovo poslednje može uključivati električni napon, hemijske reakcije i brzinu kretanja.
To jest, svaka količina koju je teško ili nemoguće opisati kao konstantnu vrednost. Na primer, brzina automobila u pokretu koji mnogo puta ubrzava i usporava tokom vožnje. Matematički izvod funkcije je namenjen da opiše, sistematizuje i analizira takve veličine.
Derivat funkcije
Prema zvaničnoj definiciji, izvod je granica odnosa prirasta funkcije i priraštaja njenog argumenta kada potonji teži nuli. Proces izračunavanja derivata naziva se diferencijacija. A funkcija se naziva diferencijabilnom samo ako ima konačan izvod.
Funkcija se može opisati kao zavisnost jedne veličine od druge i prikazati u koordinatnoj ravni kao prava. Da biste to razlikovali:
- Uzmite vrednost k na k-osi.
- Zamenite izabranu vrednost k u formulu i = f(k).
- Preuzmite koordinate tačke u formatu k, i.
- Konstruirajte tačku sa koordinatama k, i.
- Ponavljamo ovu proceduru, zamenjujući sve ostale k vrednosti.
Izvod će pokazati koliko je puta povećanje vrednosti i veće ili manje od povećanja vrednosti k. Odnos ovih priraštaja je opisan kao di/dk, a derivat kao f(k).
Malo istorije
Derivati su počeli da se koriste u matematici još u 15. veku - da bi se utvrdila zavisnost dometa leta projektila od nagiba topova. Prvi je upotrebio ovu tehniku italijanski matematičar Nikolo Fontana Tartalja.
U 17. veku, braća Bernuli iz Švajcarske počela su ozbiljno da proučavaju derivate. Mlađi brat Johan Bernuli je prvi objavio sistematski prikaz diferencijalnog računa, koji je postao osnova za „Infinitezimalnu analizu” 1687. Do 1742. naučnik je takođe završio razvoj kursa integralnog računa i predložio nove metode za rešavanje običnih diferencijalnih jednačina.
Johannov stariji brat, Jacob Bernoulli, koristio je izvod da pronađe krivinu ravne krive linije, a takođe ga je koristio za proučavanje logaritamske spirale. Jacob Bernoulli je bio autor naziva „integral“, koji je, u stvari, suprotnost diferencijalu.
Braća Bernuli na prelazu iz 17. u 18. vek dala su ogroman doprinos proučavanju derivata i postavila temelje za matematički račun varijacija.
U periodu od 17. do 19. veka u Evropi su se proučavanjem derivata bavili i drugi eminentni naučnici: Lajbnic, Njutn, Lagranž, Jakobi, Vajerštras, Ležandr. Na primer, modernu notaciju za diferencijal - d(k) - uveo je Gotfrid Vilhelm Lajbnic, a oznaku za derivat sa prostim brojem - f'(k) - Džozef Luj Lagranž.
Sam izraz „derivacija“ prvi je upotrebio Lagranž 1797. Ova reč je prevod francuskog derivee, koji dolazi od derivata - „izvedeno“.
Naknadno su mnogi evropski matematičari koristili notaciju uvedenu u Francuskoj, a oznaka „delta“ (∇) se pojavila tek 1853. godine, zahvaljujući irskom matematičaru Vilijamu Rouanu Hamiltonu.
Analogija sa rolerkosterom
Da biste lakše razumeli funkcije i pronašli njihove derivate, možete koristiti jednostavnu analogiju sa svetski poznatom atrakcijom - toboganom. Ako ih pogledate sa strane, možete čak i okom, bez složenih proračuna, odrediti glavne karakteristike kretanja kolica: u kojim oblastima će se podići / spustiti, gde će ubrzati / usporiti, koliko puta preći će granice između uspona/spuštanja.
Funkcija prikazana na ravni može se opisati na potpuno isti način. U različitim oblastima će se povećavati i smanjivati na različite načine - ovaj proces se može opisati i odrediti pomoću derivata. Da bismo to uradili, uvodimo sledeće definicije:
- Inkrement funkcije je razlika između vrednosti na i-osi.
- Inkrement argumenta je razlika između vrednosti na k-osi.
- Stopa promene funkcije je odnos njenog priraštaja i priraštaja argumenta: di/dk.
Što je manji prirast argumenta k, to je veća tačnost proračuna. Najveća tačnost se postiže kada inkrement argumenta teži nuli. U ovom slučaju, pronalaženje izvoda će zahtevati brojne proračune koji teže beskonačnosti (prilagođeno za tačnost/gradaciju).
Ako je ovaj zadatak pretežak za osobu, onda savremeni računar može da ga reši u deliću sekunde. Dovoljno je koristiti specijalnu onlajn aplikaciju koja će pomoću unetih podataka pronaći izvod funkcije, čak i ako su uključeni u složene formule sa sinusima, kosinusima, korenima i eksponentima.