Derivative calculator
![Derivative calculator](/media/images/derivative_calculator.webp)
Në analizën matematikore dhe në fizikë, derivati përdoret gjerësisht, duke përshkruar funksione dhe variabla komplekse. Kjo e fundit mund të përfshijë tensionin elektrik, reaksionet kimike dhe shpejtësinë e lëvizjes.
Dmth çdo sasi që është e vështirë ose e pamundur të përshkruhet si një vlerë konstante. Për shembull, shpejtësia e një makine në lëvizje që përshpejton dhe ngadalëson shumë herë gjatë ngasjes. Derivati matematik i një funksioni synon të përshkruajë, sistemojë dhe analizojë sasi të tilla.
Derivat i një funksioni
Sipas përkufizimit zyrtar, derivati është kufiri i raportit të rritjes së një funksioni me rritjen e argumentit të tij kur ky i fundit tenton në zero. Procesi i llogaritjes së derivatit quhet diferencim. Dhe një funksion quhet i diferencueshëm vetëm nëse ka një derivat të fundëm.
Një funksion mund të përshkruhet si varësia e një sasie nga një tjetër dhe në planin koordinativ mund të përshkruhet si një vijë. Për ta dalluar atë:
- Merrni vlerën x në boshtin x.
- Zëvendësoni vlerën e zgjedhur x në formulën y = f(x).
- Merrni koordinatat e pikës në formatin x, y.
- Ndërtoni një pikë me koordinatat x, y.
- Ne e përsërisim këtë procedurë, duke zëvendësuar të gjitha vlerat e tjera x.
Derivati do të tregojë se sa herë rritja në vlerën y është më e madhe ose më e vogël se rritja në vlerën x. Raporti i këtyre rritjeve përshkruhet si dy/dx dhe derivati si f(x).
Pak histori
Derivatet filluan të përdoren në matematikë në shekullin e 15-të - për të përcaktuar varësinë e gamës së fluturimit të predhave nga prirja e armëve. I pari që përdori këtë teknikë ishte matematikani italian Niccolo Fontana Tartaglia.
Dhe në shekullin e 17-të, vëllezërit Bernoulli nga Zvicra filluan të studiojnë me zell derivatet. Vëllai më i vogël, Johann Bernoulli, botoi për herë të parë një paraqitje sistematike të llogaritjes diferenciale, e cila u bë baza për "Analizën Infinitimale" në 1687. Deri në vitin 1742, shkencëtari përfundoi gjithashtu zhvillimin e një kursi mbi llogaritjen integrale dhe propozoi metoda të reja për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të zakonshme.
Vëllai më i madh i Johann-it, Jacob Bernoulli, përdori derivatin për të gjetur lakimin e një vije të lakuar të sheshtë, dhe gjithashtu e përdori atë për të studiuar spiralen logaritmike. Ishte Jacob Bernoulli ai që ishte autori i emrit "integral", i cili, në fakt, është e kundërta e një diferenciali.
Vëllezërit Bernoulli në kapërcyellin e shekujve 17-18 dhanë një kontribut të madh në studimin e derivateve dhe hodhën themelet për llogaritjen matematikore të variacioneve.
Në periudhën nga shekulli i 17-të deri në shekullin e 19-të në Evropë, shkencëtarë të tjerë të shquar u përfshinë gjithashtu në studimin e derivateve: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Lezhandre. Për shembull, shënimi modern për një diferencial - d(x) - u prezantua nga Gottfried Wilhelm Leibniz, dhe shënimi për një derivat me një të thjeshtë - f'(x) - nga Joseph Louis Lagrange.
Vetë termi "derivativ" u përdor për herë të parë nga Lagrange në 1797. Kjo fjalë është një përkthim i frëngjisht derivee, që vjen nga derive - "rrjedh."
Më pas, shumë matematikanë evropianë përdorën shënimin e prezantuar në Francë, dhe shënimi "delta" (∇) u shfaq vetëm në 1853, falë matematikanit irlandez William Rowan Hamilton.
Analogjia e slitës me rul
Për ta bërë më të lehtë kuptimin e funksioneve dhe gjetjen e derivateve të tyre, mund të përdorni një analogji të thjeshtë me atraksionin me famë botërore - një slitë me rul. Nëse i shikoni nga ana, mund edhe me sy, pa llogaritje komplekse, të përcaktoni tiparet kryesore të lëvizjes së karrocës: në cilat zona do të ngrihet / zbresë, ku do të përshpejtohet / ngadalësohet, sa herë. do të kalojë kufijtë midis ngjitjeve/zbritjeve.
Funksioni i përshkruar në aeroplan mund të përshkruhet saktësisht në të njëjtën mënyrë. Në zona të ndryshme do të rritet dhe ulet në mënyra të ndryshme - ky proces mund të përshkruhet dhe përcaktohet duke përdorur një derivat. Për ta bërë këtë, ne prezantojmë përkufizimet e mëposhtme:
- Rritja e funksionit është diferenca midis vlerave në boshtin y.
- Rritja e argumentit është ndryshimi midis vlerave në boshtin x.
- Shpejtësia e ndryshimit të një funksioni është raporti i rritjes së tij me rritjen e argumentit: dy/dx.
Sa më i vogël të jetë rritja e argumentit x, aq më e lartë është saktësia e llogaritjeve. Saktësia më e lartë arrihet kur rritja e argumentit tenton në zero. Në këtë rast, gjetja e derivateve do të kërkojë një numër llogaritjesh që priren në pafundësi (të rregulluara për saktësinë/gradimin).
Nëse kjo detyrë është shumë e vështirë për një person, atëherë një kompjuter modern mund ta përballojë atë në një pjesë të sekondës. Mjafton të përdorni një aplikacion të veçantë në internet që do të gjejë derivatin e një funksioni duke përdorur të dhënat e futura, edhe nëse ato përfshihen në formula komplekse me sinus, kosinus, rrënjë dhe eksponentë.