Izvedeni kalkulator
![Izvedeni kalkulator](/media/images/derivative_calculator.webp)
V matematični analizi in fiziki se izpeljanka pogosto uporablja za opis kompleksnih funkcij in spremenljivk. Slednji lahko vključujejo električno napetost, kemične reakcije in hitrost gibanja.
To je katera koli količina, ki jo je težko ali nemogoče opisati kot konstantno vrednost. Na primer hitrost premikajočega se avtomobila, ki med vožnjo večkrat pospeši in upočasni. Matematična izpeljanka funkcije je namenjena opisovanju, sistematizaciji in analizi takšnih količin.
Izpeljanka funkcije
Po uradni definiciji je odvod meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom njenega argumenta, ko se slednji nagiba k ničli. Postopek izračuna odvoda imenujemo diferenciacija. In funkcija se imenuje diferencibilna le, če ima končni odvod.
Funkcijo lahko opišemo kot odvisnost ene količine od druge in jo v koordinatni ravnini prikažemo kot črto. Za razlikovanje:
- Vzemite vrednost x na os x.
- Nadomestite izbrano vrednost x v formulo y = f(x).
- Pridobite koordinate točke v formatu x, y.
- Konstruirajte točko s koordinatama x, y.
- Ponovimo ta postopek in nadomestimo vse druge vrednosti x.
Izpeljanka bo pokazala, kolikokrat je prirastek vrednosti y večji ali manjši od prirastka vrednosti x. Razmerje teh prirastkov je opisano kot dy/dx, izpeljanka pa kot f(x).
Malo zgodovine
Izpeljanke so se začele uporabljati v matematiki že v 15. stoletju - za določanje odvisnosti dometa izstrelkov od naklona pušk. Prvi, ki je uporabil to tehniko, je bil italijanski matematik Niccolo Fontana Tartaglia.
In v 17. stoletju sta brata Bernoulli iz Švice začela resno preučevati derivate. Mlajši brat, Johann Bernoulli, je leta 1687 prvi objavil sistematično predstavitev diferencialnega računa, ki je postal osnova za "infinitezimalno analizo". Do leta 1742 je znanstvenik tudi dokončal razvoj predmeta integralnega računa in predlagal nove metode za reševanje navadnih diferencialnih enačb.
Johannov starejši brat, Jacob Bernoulli, je uporabil izpeljanko za iskanje ukrivljenosti ravne ukrivljene črte in jo uporabil tudi za preučevanje logaritemske spirale. Jacob Bernoulli je bil avtor imena "integral", ki je pravzaprav nasprotje diferenciala.
Bratje Bernoulli so na prehodu iz 17. v 18. stoletje veliko prispevali k preučevanju derivatov in postavili temelje matematičnemu variacijskemu računu.
V obdobju od 17. do 19. stoletja so se v Evropi s preučevanjem derivatov ukvarjali tudi drugi ugledni znanstveniki: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Na primer, sodoben zapis za diferencial - d(x) - je uvedel Gottfried Wilhelm Leibniz, zapis za odvod s praštevilo - f'(x) - pa Joseph Louis Lagrange.
Sam izraz »izpeljanka« je prvič uporabil Lagrange leta 1797. Ta beseda je prevod francoske besede derivee, ki izhaja iz derive - »izpeljano«.
Pozneje so številni evropski matematiki uporabljali zapis, uveden v Franciji, zapis »delta« (∇) pa se je pojavil šele leta 1853 po zaslugi irskega matematika Williama Rowana Hamiltona.
Analogija tobogana
Za lažje razumevanje funkcij in iskanje njihovih izpeljank lahko uporabite preprosto analogijo s svetovno znano atrakcijo - toboganom. Če jih pogledate s strani, lahko celo na oko, brez zapletenih izračunov, določite glavne značilnosti gibanja vozička: na katerih področjih se bo dvignil/spustil, kje bo pospešil/upočasnil, kolikokrat prestopil bo meje med vzponi/spusti.
Funkcija, prikazana na letalu, je lahko opisana na povsem enak način. Na različnih področjih se bo povečalo in zmanjšalo na različne načine - ta proces je mogoče opisati in določiti z izpeljanko. Da bi to naredili, uvedemo naslednje definicije:
- Prirast funkcije je razlika med vrednostmi na y-osi.
- Prirast argumenta je razlika med vrednostmi na osi x.
- Hitrost spremembe funkcije je razmerje med njenim prirastkom in prirastkom argumenta: dy/dx.
Manjši kot je prirastek argumenta x, večja je natančnost izračunov. Največja natančnost je dosežena, ko se prirastek argumenta nagiba k ničli. V tem primeru bo iskanje izpeljank zahtevalo številne izračune, ki se nagibajo v neskončnost (prilagojeno za natančnost/gradacijo).
Če je ta naloga za človeka pretežka, jo lahko sodoben računalnik opravi v delčku sekunde. Dovolj je, da uporabite posebno spletno aplikacijo, ki bo na podlagi vnesenih podatkov poiskala odvod funkcije, tudi če so vključeni v kompleksne formule s sinusi, kosinusi, koreni in eksponenti.