Derivačná kalkulačka
![Derivačná kalkulačka](/media/images/derivative_calculator.webp)
V matematickej analýze a fyzike je derivácia široko používaná a popisuje zložité funkcie a premenné. To druhé môže zahŕňať elektrické napätie, chemické reakcie a rýchlosť pohybu.
To znamená akékoľvek množstvo, ktoré je ťažké alebo nemožné opísať ako konštantnú hodnotu. Napríklad rýchlosť idúceho auta, ktoré počas jazdy mnohokrát zrýchľuje a spomaľuje. Matematická derivácia funkcie je určená na opis, systematizáciu a analýzu takýchto veličín.
Derivácia funkcie
Podľa oficiálnej definície je derivácia limitom pomeru prírastku funkcie k prírastku jej argumentu, keď má druhý sklon k nule. Proces výpočtu derivácie sa nazýva diferenciácia. A funkcia sa nazýva diferencovateľná iba vtedy, ak má konečnú deriváciu.
Funkciu možno opísať ako závislosť jednej veličiny od druhej a znázorniť ju v rovine súradníc ako čiaru. Ako to odlíšiť:
- Zoberte hodnotu x na osi x.
- Nahraďte vybratú hodnotu x do vzorca y = f(x).
- Získajte súradnice bodu vo formáte x, y.
- Zostrojte bod so súradnicami x, y.
- Tento postup zopakujeme a nahradíme všetky ostatné hodnoty x.
Derivácia ukáže, koľkokrát je prírastok hodnoty y väčší alebo menší ako prírastok hodnoty x. Pomer týchto prírastkov je opísaný ako dy/dx a derivácia ako f(x).
Malá história
Odvody sa začali používať v matematike už v 15. storočí - na určenie závislosti doletu projektilov od sklonu zbraní. Prvý, kto použil túto techniku, bol taliansky matematik Niccolo Fontana Tartaglia.
A v 17. storočí začali bratia Bernoulliovci zo Švajčiarska seriózne študovať deriváty. Mladší brat Johann Bernoulli prvýkrát publikoval systematickú prezentáciu diferenciálneho počtu, ktorá sa stala základom pre „Infinitezimálnu analýzu“ v roku 1687. V roku 1742 vedec tiež dokončil vývoj kurzu integrálneho počtu a navrhol nové metódy na riešenie obyčajných diferenciálnych rovníc.
Johannov starší brat Jacob Bernoulli použil deriváciu na nájdenie zakrivenia plochej zakrivenej čiary a tiež ju použil na štúdium logaritmickej špirály. Bol to Jacob Bernoulli, kto bol autorom názvu „integrál“, ktorý je v skutočnosti opakom diferenciálu.
Bratia Bernoulliovci na prelome 17. a 18. storočia výrazne prispeli k štúdiu derivátov a položili základ pre matematický počet variácií.
V období od 17. do 19. storočia sa v Európe skúmaním derivátov zaoberali aj ďalší významní vedci: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Napríklad moderný zápis pre diferenciál - d(x) - zaviedol Gottfried Wilhelm Leibniz a zápis pre deriváciu s prvočíslom - f'(x) - Joseph Louis Lagrange.
Samotný termín „derivát“ prvýkrát použil Lagrange v roku 1797. Toto slovo je prekladom z francúzskeho derivee, ktoré pochádza z odvodiť - „odvodené.“
Následne mnohí európski matematici používali zápis zavedený vo Francúzsku a zápis „delta“ (∇) sa objavil až v roku 1853 vďaka írskemu matematikovi Williamovi Rowanovi Hamiltonovi.
Analógia horskej dráhy
Na uľahčenie pochopenia funkcií a nájdenia ich derivátov môžete použiť jednoduchú analógiu so svetoznámou atrakciou – horskou dráhou. Ak sa na ne pozriete zo strany, môžete dokonca aj očami, bez zložitých výpočtov, určiť hlavné črty pohybu vozíka: v akých oblastiach bude stúpať / klesať, kde sa zrýchľuje / spomaľuje, koľkokrát prekročí hranice medzi stúpaním/klesaním.
Funkciu zobrazenú v rovine možno opísať presne rovnakým spôsobom. V rôznych oblastiach sa bude zvyšovať a znižovať rôznymi spôsobmi - tento proces možno opísať a určiť pomocou derivátu. Na tento účel uvádzame nasledujúce definície:
- Prírastok funkcie je rozdiel medzi hodnotami na osi y.
- Prírastok argumentu je rozdiel medzi hodnotami na osi x.
- Rýchlosť zmeny funkcie je pomer jej prírastku k prírastku argumentu: dy/dx.
Čím menší je prírastok argumentu x, tým vyššia je presnosť výpočtov. Najvyššia presnosť sa dosiahne, keď prírastok argumentu má tendenciu k nule. V tomto prípade bude hľadanie derivátov vyžadovať množstvo výpočtov smerujúcich k nekonečnu (upravené o presnosť/gradáciu).
Ak je táto úloha pre človeka príliš náročná, moderný počítač ju zvládne za zlomok sekundy. Stačí použiť špeciálnu online aplikáciu, ktorá pomocou zadaných údajov nájde deriváciu funkcie, aj keď sú zahrnuté v zložitých vzorcoch so sínusmi, kosínusmi, odmocninami a exponentmi.