Калькулятор производных
![Калькулятор производных](/media/images/derivative_calculator.webp)
В математическом анализе и физике широко применяется производная, описывающая сложные функции и переменные величины. В качестве последних могут выступать электрическое напряжение, химические реакции, скорость движения, частота процессора.
То есть любая величина, которую сложно или невозможно описать в виде постоянного значения. Например, скорость движущегося автомобиля, который многократно ускоряется и замедляется в процессе езды. Для описания, систематизации и анализа таких величин и предназначена математическая производная функции.
Производная функции
Согласно официальному определению, производная — это предел отношения приращения функции к приращению её аргумента, когда последний стремится к нулю. Процесс вычисления производной называют дифференцированием. А функцию называют дифференцируемой только в том случае, когда она имеет конечную производную.
Функцию можно описать как зависимость одной величины от другой, и изобразить её в плоскости координат в виде линии. Для её дифференцирования:
- Берём значение x на оси абсцисс.
- Подставляем выбранное значение х в формулу y = f(x).
- Получаем координаты точки в формате x, y.
- Строим точку с координатами x, y.
- Повторяем этот порядок действий, подставляя все остальные значения x.
Производная покажет во сколько раз приращение (изменение) значения y больше или меньше приращения значения x. Отношение этих приращений описывается как dy/dx, а производная — как f(x).
Немного истории
Производные начали использовать в математике ещё в XV веке — для определения зависимости дальности полёта снарядов от наклона орудий. Первым эту методику применил итальянский математик Никколо Фонтана Тарталья (Niccolò Tartaglia).
А в XVII веке исследованием производных вплотную занялись братья Бернулли из Швейцарии. Младший брат — Иоганн Бернулли (Johann Bernoulli) — впервые опубликовал систематическое изложение дифференциального исчисления, ставшее основой для «Анализа бесконечно малых» (Analyse des infiniment petits) 1687 года. К 1742 году учёный также закончил разработку курса интегрального исчисления и предложил новые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Старший брат Иоганна — Якоб Бернулли (Jakob Bernoulli) — использовал производную для нахождения кривизны плоской кривой линии, а также исследовал с её помощью логарифмическую спираль. Именно Якобу Бернулли принадлежит авторство названия «интеграл», который, по сути, является противоположностью дифференциала.
Братья Бернулли на рубеже XVII–XVIII веков внесли огромный вклад в исследование производных, и положили начало вариационному математическому исчислению.
В период с XVII по XIX век в Европе исследованием производных занимались и другие именитые учёные: Лейбниц, Ньютон, Лагранж, Якоби, Вейерштрасс, Лежандр. Например, современное обозначение дифференциала — d(x) — ввёл Готфрид Вильгельм Лейбниц (Gottfried Wilhelm von Leibniz), а обозначение производной со штрихом — f'(x) — Жозеф Луи Лагранж (Joseph Louis Lagrange).
Сам термин «производная» был впервые применён Лагранжем в 1797 году. Это слово является переводом французского derivee, происходящего от derive — «производный/ответвлённый».
Впоследствии введёнными во Франции обозначениями пользовались многие европейские математики. Карл Г. Я. Якоби и Карл Т. В. Вейерштрасс из Германии и В. И. Висковатов из Российской Империи повсеместно применяли в своих работах d(x), а обозначение «дельта» (∇) появилось только в 1853 году — благодаря ирландскому математику Уильяму Роуэну Гамильтону (William Rowan Hamilton).
Аналогия с американскими горками
Для упрощения понимая функций и нахождения их производных можно использовать простую аналогию с всемирно известным аттракционом — американскими горками. Если смотреть на них сбоку, можно даже на глаз, без сложных вычислений определить основные особенности движения вагонетки: на каких участках будет её подъём/спуск, где она будет ускоряться/замедляться, сколько раз она преодолеет границы между подъёмами/спусками.
Точно так же можно описать и функцию, изображённую на плоскости. На разных участках она будет возрастать и убывать по-разному — этот процесс можно описать и определить с помощью производной. Для этого введём следующие определения:
- Приращение функции — разность между значениями на оси ординат y.
- Приращение аргумента — разность между значениями на оси абсцисс x.
- Скорость изменения функции — отношение её приращения к приращению аргумента: dy/dx.
Чем меньше приращение аргумента x, тем выше точность вычислений. Самая высокая точность достигается когда приращение аргумента стремится к нулю. В этом случае для нахождения производных потребуется количество вычислений, стремящееся к бесконечности (с поправкой на точность/градацию).
Если для человека эта задача слишком сложна, то современный компьютер справится с ней за долю секунды. Достаточно использовать специальное онлайн-приложение, которое найдёт производную функции по введённым данным, даже если они включены в сложные формулы с синусами, косинусами, корнями, экспонентами.