Calculator de derivate
![Calculator de derivate](/media/images/derivative_calculator.webp)
În analiza matematică și fizică, derivata este utilizată pe scară largă, descriind funcții și variabile complexe. Acestea din urmă pot include tensiunea electrică, reacțiile chimice și viteza de mișcare.
Adică orice cantitate care este dificil sau imposibil de descris ca valoare constantă. De exemplu, viteza unei mașini în mișcare care accelerează și decelerează de multe ori în timpul conducerii. Derivata matematică a unei funcții are scopul de a descrie, sistematiza și analiza astfel de mărimi.
Derivată a unei funcții
Conform definiției oficiale, derivata este limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului său atunci când acesta din urmă tinde spre zero. Procesul de calcul al derivatei se numește diferențiere. Iar o funcție se numește diferențiabilă numai dacă are o derivată finită.
O funcție poate fi descrisă ca dependența unei cantități de alta și reprezentată în planul de coordonate ca o linie. Pentru a o diferenția:
- Luați valoarea x pe axa x.
- Înlocuiți valoarea x selectată în formula y = f(x).
- Obțineți coordonatele punctului în format x, y.
- Construiți un punct cu coordonatele x, y.
- Repetăm această procedură, înlocuind toate celelalte valori x.
Derivatul va arăta de câte ori este mai mare sau mai mică creșterea valorii y decât creșterea valorii x. Raportul acestor incremente este descris ca dy/dx, iar derivata ca f(x).
Puțină istorie
Derivatele au început să fie folosite în matematică încă din secolul al XV-lea - pentru a determina dependența razei de zbor a proiectilelor de înclinația armelor. Primul care a folosit această tehnică a fost matematicianul italian Niccolo Fontana Tartaglia.
În secolul al XVII-lea, frații Bernoulli din Elveția au început să studieze serios derivatele. Fratele mai mic, Johann Bernoulli, a publicat pentru prima dată o prezentare sistematică a calculului diferențial, care a devenit baza pentru „Analiza infinitezimală” în 1687. Până în 1742, omul de știință a finalizat și dezvoltarea unui curs de calcul integral și a propus noi metode pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite.
Fratele mai mare al lui Johann, Jacob Bernoulli, a folosit derivatul pentru a găsi curbura unei linii curbe plate și, de asemenea, a folosit-o pentru a studia spirala logaritmică. Jacob Bernoulli a fost autorul numelui „integral”, care, de fapt, este opusul unui diferenţial.
Frații Bernoulli la începutul secolelor XVII-XVIII au adus o contribuție uriașă la studiul derivatelor și au pus bazele calculului matematic al variațiilor.
În perioada dintre secolele al XVII-lea și al XIX-lea în Europa, alți oameni de știință eminenti au fost implicați și în studiul derivatelor: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. De exemplu, notația modernă pentru un diferențial - d(x) - a fost introdusă de Gottfried Wilhelm Leibniz, iar notația pentru o derivată cu prim - f'(x) - de Joseph Louis Lagrange.
Termenul „derivat” în sine a fost folosit pentru prima dată de Lagrange în 1797. Acest cuvânt este o traducere a derivatului francez, care provine de la derivă - „derivat.”
Ulterior, mulți matematicieni europeni au folosit notația introdusă în Franța, iar notația „delta” (∇) a apărut abia în 1853, datorită matematicianului irlandez William Rowan Hamilton.
Analogia cu roller coaster
Pentru a facilita înțelegerea funcțiilor și găsirea derivatelor lor, puteți folosi o analogie simplă cu atracția faimoasă în lume - un roller coaster. Dacă te uiți la ele din lateral, poți chiar și cu ochii, fără calcule complexe, să stabilești principalele caracteristici ale mișcării căruciorului: în ce zone va urca/coborî, unde va accelera/încetini, de câte ori va depăși granițele dintre ascensiuni/coborâri.
Funcția descrisă în avion poate fi descrisă exact în același mod. În diferite zone va crește și scădea în moduri diferite - acest proces poate fi descris și determinat folosind un derivat. Pentru a face acest lucru, introducem următoarele definiții:
- Incrementul funcției este diferența dintre valorile de pe axa y.
- Incrementul argumentului este diferența dintre valorile de pe axa x.
- Rata de modificare a unei funcții este raportul dintre incrementul acesteia și incrementul argumentului: dy/dx.
Cu cât incrementul argumentului x este mai mic, cu atât precizia calculelor este mai mare. Cea mai mare precizie este atinsă atunci când incrementul argumentului tinde spre zero. În acest caz, găsirea derivatelor va necesita un număr de calcule care tind spre infinit (ajustate pentru precizie/gradație).
Dacă această sarcină este prea dificilă pentru o persoană, atunci un computer modern se poate descurca într-o fracțiune de secundă. Este suficient să folosiți o aplicație online specială care va găsi derivata unei funcții folosind datele introduse, chiar dacă acestea sunt incluse în formule complexe cu sinusuri, cosinus, rădăcini și exponenți.