Calculadora de derivadas
Na análise matemática e na física, a derivada é amplamente utilizada, descrevendo funções e variáveis complexas. Este último pode incluir voltagem elétrica, reações químicas e velocidade de movimento.
Ou seja, qualquer quantidade que seja difícil ou impossível de descrever como um valor constante. Por exemplo, a velocidade de um carro em movimento que acelera e desacelera muitas vezes enquanto dirige. A derivada matemática de uma função tem como objetivo descrever, sistematizar e analisar tais quantidades.
Derivada de uma função
Segundo a definição oficial, a derivada é o limite da razão entre o incremento de uma função e o incremento de seu argumento quando este tende a zero. O processo de cálculo da derivada é denominado diferenciação. E uma função é chamada derivável apenas se tiver uma derivada finita.
Uma função pode ser descrita como a dependência de uma quantidade de outra e representada no plano de coordenadas como uma linha. Para diferenciá-lo:
- Pegue o valor x no eixo x.
- Substitua o valor x selecionado na fórmula y = f(x).
- Obtenha as coordenadas do ponto no formato x, y.
- Construa um ponto com coordenadas x, y.
- Repetimos este procedimento, substituindo todos os outros valores de x.
A derivada mostrará quantas vezes o incremento no valor y é maior ou menor que o incremento no valor x. A proporção desses incrementos é descrita como dy/dx, e a derivada como f(x).
Um pouco de história
As derivadas começaram a ser usadas em matemática no século 15 - para determinar a dependência do alcance de vôo dos projéteis com a inclinação dos canhões. O primeiro a utilizar esta técnica foi o matemático italiano Niccolo Fontana Tartaglia.
E no século XVII, os irmãos Bernoulli, da Suíça, começaram a estudar seriamente os derivados. O irmão mais novo, Johann Bernoulli, publicou pela primeira vez uma apresentação sistemática do cálculo diferencial, que se tornou a base para a “Análise Infinitesimal” em 1687. Em 1742, o cientista também concluiu o desenvolvimento de um curso de cálculo integral e propôs novos métodos para resolver equações diferenciais ordinárias.
O irmão mais velho de Johann, Jacob Bernoulli, usou a derivada para encontrar a curvatura de uma linha curva plana e também a usou para estudar a espiral logarítmica. Foi Jacob Bernoulli o autor do nome “integral”, que, na verdade, é o oposto de diferencial.
Os irmãos Bernoulli, na virada dos séculos 17 para 18, deram uma enorme contribuição ao estudo das derivadas e lançaram as bases para o cálculo matemático das variações.
No período que vai do século XVII ao século XIX, na Europa, outros cientistas eminentes também estiveram envolvidos no estudo das derivadas: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Por exemplo, a notação moderna para um diferencial - d(x) - foi introduzida por Gottfried Wilhelm Leibniz, e a notação para uma derivada com um primo - f'(x) - por Joseph Louis Lagrange.
O próprio termo “derivado” foi usado pela primeira vez por Lagrange em 1797. Esta palavra é uma tradução do francês derivae, que vem de derive - “derivado”.
Posteriormente, muitos matemáticos europeus usaram a notação introduzida na França, e a notação “delta” (∇) apareceu apenas em 1853, graças ao matemático irlandês William Rowan Hamilton.
Analogia da montanha-russa
Para facilitar a compreensão das funções e encontrar suas derivadas, você pode usar uma analogia simples com a atração mundialmente famosa - uma montanha-russa. Se você olhar para eles de lado, você pode até mesmo a olho nu, sem cálculos complexos, determinar as principais características do movimento do carrinho: em que áreas ele irá subir/descer, onde irá acelerar/desacelerar, quantas vezes cruzará os limites entre subidas/descidas.
A função representada no plano pode ser descrita exatamente da mesma maneira. Em diferentes áreas aumentará e diminuirá de diferentes maneiras - este processo pode ser descrito e determinado usando uma derivada. Para fazer isso, apresentamos as seguintes definições:
- O incremento da função é a diferença entre os valores no eixo y.
- O argumento incremento é a diferença entre os valores no eixo x.
- A taxa de variação de uma função é a razão entre seu incremento e o incremento do argumento: dy/dx.
Quanto menor o incremento do argumento x, maior a precisão dos cálculos. A maior precisão é alcançada quando o incremento do argumento tende a zero. Nesse caso, encontrar derivadas exigirá uma série de cálculos tendendo ao infinito (ajustados para precisão/gradação).
Se essa tarefa for muito difícil para uma pessoa, um computador moderno poderá realizá-la em uma fração de segundo. Basta utilizar um aplicativo online especial que encontrará a derivada de uma função a partir dos dados inseridos, mesmo que estejam incluídos em fórmulas complexas com senos, cossenos, raízes e expoentes.
