Kalkulator pochodnych
![Kalkulator pochodnych](/media/images/derivative_calculator.webp)
W analizie matematycznej i fizyce pochodna jest szeroko stosowana do opisu złożonych funkcji i zmiennych. Te ostatnie mogą obejmować napięcie elektryczne, reakcje chemiczne i prędkość ruchu.
To znaczy każda wielkość, którą trudno lub nie da się opisać jako wartość stałą. Na przykład prędkość poruszającego się samochodu, który wielokrotnie przyspiesza i zwalnia podczas jazdy. Pochodna matematyczna funkcji ma na celu opisanie, usystematyzowanie i analizę takich wielkości.
Pochodna funkcji
Według oficjalnej definicji pochodną jest granica stosunku przyrostu funkcji do przyrostu jej argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera. Proces obliczania pochodnej nazywa się różniczkowaniem. A funkcję nazywamy różniczkowalną tylko wtedy, gdy ma skończoną pochodną.
Funkcję można opisać jako zależność jednej wielkości od drugiej i przedstawić w płaszczyźnie współrzędnych w postaci linii. Aby to rozróżnić:
- Weź wartość x na osi x.
- Podstaw wybraną wartość x do wzoru y = f(x).
- Uzyskaj współrzędne punktu w formacie x, y.
- Skonstruuj punkt o współrzędnych x, y.
- Powtarzamy tę procedurę, podstawiając wszystkie pozostałe wartości x.
Pochodna pokaże, ile razy przyrost wartości y jest większy lub mniejszy od przyrostu wartości x. Stosunek tych przyrostów opisuje się jako dy/dx, a pochodną jako f(x).
Trochę historii
Pochodne zaczęto stosować w matematyce już w XV wieku – do określenia zależności zasięgu lotu pocisków od nachylenia działa. Pierwszym, który zastosował tę technikę, był włoski matematyk Niccolo Fontana Tartaglia.
W XVII wieku bracia Bernoulli ze Szwajcarii zaczęli na poważnie badać instrumenty pochodne. Młodszy brat, Johann Bernoulli, jako pierwszy opublikował systematyczne przedstawienie rachunku różniczkowego, które w 1687 r. stało się podstawą „Analizy nieskończonej”. Do 1742 roku naukowiec ukończył także opracowywanie kursu rachunku całkowego i zaproponował nowe metody rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych.
Starszy brat Johanna, Jacob Bernoulli, użył pochodnej do obliczenia krzywizny płaskiej krzywej linii, a także użył jej do badania spirali logarytmicznej. To Jacob Bernoulli był autorem nazwy „całka”, która w istocie jest przeciwieństwem różniczki.
Bracia Bernoulli na przełomie XVII i XVIII wieku wnieśli ogromny wkład w badania pochodnych i położyli podwaliny pod matematyczny rachunek wariacyjny.
W okresie od XVII do XIX wieku w Europie badaniami pochodnymi zajmowali się także inni wybitni naukowcy: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Na przykład nowoczesny zapis różniczki – d(x) – wprowadził Gottfried Wilhelm Leibniz, a zapis pochodnej z liczbą pierwszą – f’(x) – Joseph Louis Lagrange.
Sam termin „pochodna” został po raz pierwszy użyty przez Lagrange’a w 1797 r. Słowo to jest tłumaczeniem francuskiego słowa pochodne, które pochodzi od pochodnego – „pochodny”.
Później wielu europejskich matematyków stosowało notację wprowadzoną we Francji, a notacja „delta” (∇) pojawiła się dopiero w 1853 r. za sprawą irlandzkiego matematyka Williama Rowana Hamiltona.
Analogiczna kolejka górska
Aby ułatwić zrozumienie funkcji i znalezienie ich pochodnych, można posłużyć się prostą analogią do znanej na całym świecie atrakcji – kolejki górskiej. Jeśli spojrzysz na nie z boku, możesz nawet naocznie, bez skomplikowanych obliczeń, określić główne cechy ruchu wózka: w jakich obszarach będzie się podnosił/opadał, gdzie przyspieszał/ zwalniał, ile razy przekroczy granice pomiędzy wzlotami i zjazdami.
Funkcję przedstawioną na płaszczyźnie można opisać dokładnie w ten sam sposób. W różnych obszarach w różny sposób będzie się zwiększał i zmniejszał – proces ten można opisać i wyznaczyć za pomocą pochodnej. W tym celu wprowadzamy następujące definicje:
- Przyrost funkcji to różnica pomiędzy wartościami na osi Y.
- Przyrost argumentu to różnica pomiędzy wartościami na osi x.
- Szybkość zmian funkcji to stosunek jej przyrostu do przyrostu argumentu: dy/dx.
Im mniejszy przyrost argumentu x, tym większa dokładność obliczeń. Najwyższą dokładność osiąga się, gdy przyrost argumentu dąży do zera. W tym przypadku znalezienie pochodnych będzie wymagało szeregu obliczeń zmierzających do nieskończoności (skorygowanych o dokładność/gradację).
Jeśli to zadanie jest dla człowieka zbyt trudne, nowoczesny komputer poradzi sobie z nim w ułamku sekundy. Wystarczy skorzystać ze specjalnej aplikacji internetowej, która na podstawie wprowadzonych danych znajdzie pochodną funkcji, nawet jeśli zawarte są one we skomplikowanych wzorach z sinusami, cosinusami, pierwiastkami i wykładnikami.