Derivasjonskalkulator

I matematisk analyse og fysikk er den deriverte mye brukt, og beskriver komplekse funksjoner og variabler. Sistnevnte kan inkludere elektrisk spenning, kjemiske reaksjoner og bevegelseshastighet.

Det vil si enhver mengde som er vanskelig eller umulig å beskrive som en konstant verdi. For eksempel hastigheten til en bil i bevegelse som akselererer og bremser mange ganger mens du kjører. Den matematiske deriverte av en funksjon er ment å beskrive, systematisere og analysere slike størrelser.

Avledet av en funksjon

I henhold til den offisielle definisjonen er den deriverte grensen for forholdet mellom økningen av en funksjon og økningen av argumentet når sistnevnte har en tendens til null. Prosessen med å beregne den deriverte kalles differensiering. Og en funksjon kalles bare differensierbar hvis den har en endelig derivert.

En funksjon kan beskrives som avhengigheten av en størrelse av en annen, og avbildet i koordinatplanet som en linje. Slik skiller du det:

• Ta x-verdien på x-aksen.
• Bytt den valgte x-verdien inn i formelen y = f(x).
• Få koordinatene til punktet i x, y-format.
• Konstruer et punkt med koordinatene x, y.
• Vi gjentar denne prosedyren og erstatter alle andre x-verdier.

Den deriverte vil vise hvor mange ganger økningen i y-verdien er større eller mindre enn økningen i x-verdien. Forholdet mellom disse inkrementene beskrives som dy/dx, og den deriverte som f(x).

En liten historie

Derivater begynte å bli brukt i matematikk tilbake på 1400-tallet - for å bestemme avhengigheten av flyrekkevidden til prosjektiler av våpenes helning. Den første som brukte denne teknikken var den italienske matematikeren Niccolo Fontana Tartaglia.

Og på 1600-tallet begynte Bernoulli-brødrene fra Sveits å studere derivater for alvor. Den yngre broren, Johann Bernoulli, publiserte først en systematisk presentasjon av differensialregning, som ble grunnlaget for "Infinitesimal Analysis" i 1687. I 1742 fullførte forskeren også utviklingen av et kurs om integralregning og foreslo nye metoder for å løse vanlige differensialligninger.

Johanns eldre bror, Jacob Bernoulli, brukte den deriverte for å finne krumningen til en flat buet linje, og brukte den også til å studere den logaritmiske spiralen. Det var Jacob Bernoulli som var forfatteren av navnet "integral", som faktisk er det motsatte av en differensial.

Bernoulli-brødrene på begynnelsen av 1600- og 1700-tallet ga et enormt bidrag til studiet av derivater, og la grunnlaget for den matematiske variasjonsberegningen.

I perioden fra 1600- til 1800-tallet i Europa var også andre fremtredende vitenskapsmenn involvert i studiet av derivater: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. For eksempel ble den moderne notasjonen for en differensial - d(x) - introdusert av Gottfried Wilhelm Leibniz, og notasjonen for en derivativ med et primtall - f'(x) - av Joseph Louis Lagrange.

Begrepet "derivat" ble først brukt av Lagrange i 1797. Dette ordet er en oversettelse av det franske derivee, som kommer fra derive - "avledet."

Deretter brukte mange europeiske matematikere notasjonen som ble introdusert i Frankrike, og notasjonen "delta" (∇) dukket opp først i 1853, takket være den irske matematikeren William Rowan Hamilton.

Berg- og dalbaneanalogi

For å gjøre det lettere å forstå funksjoner og finne deres derivater, kan du bruke en enkel analogi med den verdensberømte attraksjonen - en berg-og-dal-bane. Hvis du ser på dem fra siden, kan du til og med med øyet, uten komplekse beregninger, bestemme hovedtrekkene i bevegelsen til vognen: i hvilke områder den vil stige / synke, hvor den vil akselerere / bremse, hvor mange ganger den vil krysse grensene mellom stigninger/nedstigninger.

Funksjonen som er avbildet på flyet kan beskrives på nøyaktig samme måte. På forskjellige områder vil den øke og avta på forskjellige måter - denne prosessen kan beskrives og bestemmes ved hjelp av et derivat. For å gjøre dette introduserer vi følgende definisjoner:

• Funksjonsøkning er forskjellen mellom verdiene på y-aksen.
• Argumentøkningen er forskjellen mellom verdiene på x-aksen.
• Endringshastigheten til en funksjon er forholdet mellom dens økning og økningen av argumentet: dy/dx.

Jo mindre økningen av argumentet x er, desto høyere er nøyaktigheten av beregningene. Den høyeste nøyaktigheten oppnås når økningen av argumentet har en tendens til null. I dette tilfellet vil det å finne derivater kreve en rekke beregninger som har en tendens til uendelig (justert for nøyaktighet/gradering).

Hvis denne oppgaven er for vanskelig for en person, kan en moderne datamaskin håndtere den på et brøkdel av et sekund. Det er nok å bruke en spesiell nettapplikasjon som vil finne den deriverte av en funksjon ved å bruke de angitte dataene, selv om de er inkludert i komplekse formler med sinus, cosinus, røtter og eksponenter.