Afgeleide rekenmachine
![Afgeleide rekenmachine](/media/images/derivative_calculator.webp)
In de wiskundige analyse en natuurkunde wordt de afgeleide veel gebruikt, waarmee complexe functies en variabelen worden beschreven. Dit laatste kan onder meer elektrische spanning, chemische reacties en bewegingssnelheid omvatten.
Dat wil zeggen: elke grootheid die moeilijk of onmogelijk te beschrijven is als een constante waarde. Bijvoorbeeld de snelheid van een rijdende auto die tijdens het rijden vele malen versnelt en vertraagt. De wiskundige afgeleide van een functie is bedoeld om dergelijke grootheden te beschrijven, systematiseren en analyseren.
Afgeleide van een functie
Volgens de officiële definitie is de afgeleide de limiet van de verhouding tussen de toename van een functie en de toename van zijn argument wanneer dit laatste naar nul neigt. Het proces van het berekenen van de afgeleide wordt differentiatie genoemd. En een functie wordt alleen differentieerbaar genoemd als deze een eindige afgeleide heeft.
Een functie kan worden beschreven als de afhankelijkheid van de ene grootheid van de andere, en in het coördinatenvlak weergegeven als een lijn. Om het te onderscheiden:
- Neem de x-waarde op de x-as.
- Vervang de geselecteerde x-waarde in de formule y = f(x).
- Verkrijg de coördinaten van het punt in x, y-formaat.
- Construeer een punt met de coördinaten x, y.
- We herhalen deze procedure en vervangen alle andere x-waarden.
De afgeleide laat zien hoe vaak de toename in de y-waarde groter of kleiner is dan de toename in de x-waarde. De verhouding van deze stappen wordt beschreven als dy/dx, en de afgeleide als f(x).
Een beetje geschiedenis
Afgeleide middelen werden al in de 15e eeuw in de wiskunde gebruikt - om de afhankelijkheid van het vliegbereik van projectielen en de helling van kanonnen te bepalen. De eerste die deze techniek toepaste was de Italiaanse wiskundige Niccolo Fontana Tartaglia.
En in de 17e eeuw begonnen de gebroeders Bernoulli uit Zwitserland serieus derivaten te bestuderen. De jongere broer, Johann Bernoulli, publiceerde voor het eerst een systematische presentatie van differentiaalrekening, die in 1687 de basis werd voor ‘Infinitesimal Analysis’. In 1742 voltooide de wetenschapper ook de ontwikkeling van een cursus over integraalrekening en stelde hij nieuwe methoden voor voor het oplossen van gewone differentiaalvergelijkingen.
Johanns oudere broer, Jacob Bernoulli, gebruikte de afgeleide om de kromming van een platte gebogen lijn te vinden, en gebruikte deze ook om de logaritmische spiraal te bestuderen. Het was Jacob Bernoulli die de naam “integraal” bedacht, wat in feite het tegenovergestelde is van een differentieel.
De gebroeders Bernoulli leverden rond de eeuwwisseling van de 17e tot de 18e eeuw een enorme bijdrage aan de studie van afgeleiden en legden de basis voor de wiskundige variatierekening.
In de periode van de 17e tot de 19e eeuw waren in Europa ook andere vooraanstaande wetenschappers betrokken bij de studie van derivaten: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. De moderne notatie voor een differentiaal - d(x) - werd bijvoorbeeld geïntroduceerd door Gottfried Wilhelm Leibniz, en de notatie voor een afgeleide met een priemgetal - f'(x) - door Joseph Louis Lagrange.
De term 'derivaat' zelf werd voor het eerst gebruikt door Lagrange in 1797. Dit woord is een vertaling van het Franse afgeleide, dat afkomstig is van afgeleid - "afgeleid."
Vervolgens gebruikten veel Europese wiskundigen de in Frankrijk geïntroduceerde notatie, en de notatie “delta” (∇) verscheen pas in 1853, dankzij de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton.
Achtbaan-analogie
Om functies gemakkelijker te begrijpen en hun afgeleiden te vinden, kun je een eenvoudige analogie gebruiken met de wereldberoemde attractie: een achtbaan. Als je ze vanaf de zijkant bekijkt, kun je zelfs met het oog, zonder ingewikkelde berekeningen, de belangrijkste kenmerken van de beweging van de trolley bepalen: in welke gebieden hij zal stijgen/dalen, waar hij zal versnellen/vertragen, hoe vaak het zal de grenzen tussen beklimmingen/afdalingen overschrijden.
De functie afgebeeld op het vlak kan op precies dezelfde manier worden beschreven. Op verschillende gebieden zal het op verschillende manieren toenemen en afnemen - dit proces kan worden beschreven en bepaald met behulp van een afgeleide. Om dit te doen, introduceren we de volgende definities:
- Functieverhoging is het verschil tussen de waarden op de y-as.
- De argumentverhoging is het verschil tussen de waarden op de x-as.
- De snelheid waarmee een functie verandert, is de verhouding tussen de toename ervan en de toename van het argument: dy/dx.
Hoe kleiner de stapgrootte van het argument x, hoe hoger de nauwkeurigheid van de berekeningen. De hoogste nauwkeurigheid wordt bereikt wanneer de toename van het argument naar nul neigt. In dit geval zal het vinden van afgeleiden een aantal berekeningen vereisen die naar het oneindige neigen (aangepast voor nauwkeurigheid/gradatie).
Als deze taak te moeilijk is voor een persoon, kan een moderne computer deze in een fractie van een seconde aan. Het is voldoende om een speciale online applicatie te gebruiken die de afgeleide van een functie vindt met behulp van de ingevoerde gegevens, zelfs als deze zijn opgenomen in complexe formules met sinussen, cosinussen, wortels en exponenten.