Kalkulator derivatif
![Kalkulator derivatif](/media/images/derivative_calculator.webp)
Dalam analisis matematik dan fizik, derivatif digunakan secara meluas, menerangkan fungsi dan pembolehubah yang kompleks. Yang terakhir mungkin termasuk voltan elektrik, tindak balas kimia dan kelajuan pergerakan.
Iaitu, sebarang kuantiti yang sukar atau mustahil untuk digambarkan sebagai nilai malar. Contohnya, kelajuan kereta bergerak yang memecut dan memecut berkali-kali semasa memandu. Terbitan matematik bagi fungsi bertujuan untuk menghuraikan, mensistematikkan dan menganalisis kuantiti tersebut.
Terbitan fungsi
Menurut takrif rasmi, terbitan ialah had nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujahnya apabila yang terakhir cenderung kepada sifar. Proses pengiraan derivatif dipanggil pembezaan. Dan fungsi dipanggil boleh dibezakan hanya jika ia mempunyai terbitan terhingga.
Sesuatu fungsi boleh digambarkan sebagai pergantungan satu kuantiti pada kuantiti yang lain, dan digambarkan dalam satah koordinat sebagai garis. Untuk membezakannya:
- Ambil nilai x pada paksi-x.
- Gantikan nilai x yang dipilih ke dalam formula y = f(x).
- Dapatkan koordinat titik dalam format x, y.
- Bina satu titik dengan koordinat x, y.
- Kami mengulangi prosedur ini, menggantikan semua nilai x lain.
Derivatif akan menunjukkan berapa kali kenaikan dalam nilai y lebih besar atau kurang daripada kenaikan dalam nilai x. Nisbah kenaikan ini diterangkan sebagai dy/dx, dan terbitan sebagai f(x).
Sedikit sejarah
Derivatif mula digunakan dalam matematik pada abad ke-15 - untuk menentukan kebergantungan julat penerbangan peluru pada kecenderungan senjata api. Orang pertama yang menggunakan teknik ini ialah ahli matematik Itali Niccolo Fontana Tartaglia.
Dan pada abad ke-17, saudara Bernoulli dari Switzerland mula mempelajari derivatif dengan bersungguh-sungguh. Adik lelaki, Johann Bernoulli, pertama kali menerbitkan pembentangan sistematik kalkulus pembezaan, yang menjadi asas untuk "Analisis Infinitesimal" pada tahun 1687. Menjelang 1742, saintis itu juga menyelesaikan pembangunan kursus tentang kalkulus kamiran dan mencadangkan kaedah baharu untuk menyelesaikan persamaan pembezaan biasa.
Abang lelaki Johann, Jacob Bernoulli, menggunakan derivatif untuk mencari kelengkungan garis lengkung rata, dan juga menggunakannya untuk mengkaji lingkaran logaritma. Ia adalah Jacob Bernoulli yang merupakan pengarang nama "integral", yang, sebenarnya, adalah bertentangan dengan pembezaan.
Saudara-saudara Bernoulli pada permulaan abad ke-17-18 memberikan sumbangan yang besar kepada kajian derivatif, dan meletakkan asas bagi kalkulus matematik variasi.
Dalam tempoh dari abad ke-17 hingga abad ke-19 di Eropah, saintis terkemuka lain turut terlibat dalam kajian derivatif: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Contohnya, tatatanda moden untuk pembezaan - d(x) - telah diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz, dan tatatanda untuk terbitan dengan perdana - f'(x) - oleh Joseph Louis Lagrange.
Istilah "derivatif" itu sendiri pertama kali digunakan oleh Lagrange pada tahun 1797. Perkataan ini ialah terjemahan dari derive Perancis, yang berasal daripada derived - “derived.”
Seterusnya, ramai ahli matematik Eropah menggunakan tatatanda yang diperkenalkan di Perancis, dan tatatanda "delta" (∇) muncul hanya pada tahun 1853, terima kasih kepada ahli matematik Ireland William Rowan Hamilton.
Analogi roller coaster
Untuk memudahkan memahami fungsi dan mencari derivatifnya, anda boleh menggunakan analogi mudah dengan tarikan yang terkenal di dunia - roller coaster. Jika anda melihatnya dari sisi, anda boleh walaupun dengan mata, tanpa pengiraan yang rumit, menentukan ciri-ciri utama pergerakan troli: di kawasan mana ia akan naik/turun, di mana ia akan mempercepatkan/melambatkan, berapa kali ia akan merentasi sempadan antara pendakian/penurunan.
Fungsi yang digambarkan pada satah boleh diterangkan dengan cara yang sama. Di kawasan yang berbeza ia akan meningkat dan menurun dengan cara yang berbeza - proses ini boleh diterangkan dan ditentukan menggunakan derivatif. Untuk melakukan ini, kami memperkenalkan takrifan berikut:
- Peningkatan fungsi ialah perbezaan antara nilai pada paksi-y.
- Kenaikan hujah ialah perbezaan antara nilai pada paksi-x.
- Kadar perubahan fungsi ialah nisbah kenaikannya kepada kenaikan argumen: dy/dx.
Semakin kecil kenaikan argumen x, semakin tinggi ketepatan pengiraan. Ketepatan tertinggi dicapai apabila kenaikan hujah cenderung kepada sifar. Dalam kes ini, mencari derivatif memerlukan beberapa pengiraan yang cenderung kepada infiniti (dilaraskan untuk ketepatan/penggredan).
Jika tugas ini terlalu sukar untuk seseorang, maka komputer moden boleh mengendalikannya dalam sekejap. Ia cukup untuk menggunakan aplikasi dalam talian khas yang akan mencari terbitan fungsi menggunakan data yang dimasukkan, walaupun ia disertakan dalam formula kompleks dengan sinus, kosinus, punca dan eksponen.