Derivative calculator

Во математичката анализа и физиката, изводот е широко користен, опишувајќи сложени функции и променливи. Последново може да вклучува електричен напон, хемиски реакции и брзина на движење.

Тоа е, секоја големина што е тешко или невозможно да се опише како константна вредност. На пример, брзината на автомобил во движење кој забрзува и забавува многу пати додека возите. Математичкиот извод на функцијата е наменет да ги опишува, систематизира и анализира таквите величини.

Дериват на функција

Според официјалната дефиниција, изводот е граница на односот на зголемувањето на функцијата до зголемувањето на нејзиниот аргумент кога вториот се стреми кон нула. Процесот на пресметување на изводот се нарекува диференцијација. А функцијата се нарекува диференцијабилна само ако има конечен извод.

Функцијата може да се опише како зависност на една количина од друга, и прикажана во координатната рамнина како права. За да го разликувате:

• Земете ја вредноста на x на оската x.
• Заменете ја избраната вредност на x во формулата y = f(x).
• Добијте ги координатите на точката во формат x, y.
• Конструирај точка со координати x, y.
• Ја повторуваме оваа постапка, заменувајќи ги сите други x вредности.

Дериватот ќе покаже колку пати зголемувањето на вредноста y е поголемо или помало од зголемувањето на вредноста на x. Односот на овие зголемувања е опишан како dy/dx, а дериватот како f(x).

Мала историја

Дериватите почнаа да се користат во математиката уште во 15 век - за да се одреди зависноста на опсегот на летот на проектилите од наклонот на пиштолите. Првиот што ја користел оваа техника бил италијанскиот математичар Николо Фонтана Тартаља.

И во 17 век, браќата Бернули од Швајцарија почнаа сериозно да ги проучуваат дериватите. Помладиот брат, Јохан Бернули, за прв пат објави систематска презентација на диференцијалното сметање, што стана основа за „Бесконечно мала анализа“ во 1687 година. До 1742 година, научникот исто така го заврши развојот на курсот за интегрално пресметка и предложи нови методи за решавање на обични диференцијални равенки.

Постариот брат на Јохан, Џејкоб Бернули, го користел изводот за да ја пронајде закривеноста на рамна крива линија, а исто така го користел и за проучување на логаритамската спирала. Токму Џејкоб Бернули е автор на името „интеграл“, што, всушност, е спротивно на диференцијалот.

Браќата Бернули на преминот од 17-18 век дадоа огромен придонес во проучувањето на дериватите и ја поставија основата за математичкото пресметување на варијации.

Во периодот од 17 до 19 век во Европа, во проучувањето на дериватите се занимаваат и други истакнати научници: Лајбниц, Њутн, Лагранж, Јакоби, Вајерштрас, Лежандре. На пример, модерната нотација за диференцијал - d(x) - беше воведена од Готфрид Вилхелм Лајбниц, а ознаката за дериват со прост - f'(x) - од Џозеф Луис Лагранж.

Самиот термин „дериват“ првпат бил употребен од Лагранж во 1797 година. Овој збор е превод на францускиот изведен, кој доаѓа од изведен - „изведен“.

Подоцна, многу европски математичари ја користеа ознаката воведена во Франција, а ознаката „делта“ (∇) се појави дури во 1853 година, благодарение на ирскиот математичар Вилијам Роуан Хамилтон.

Аналогија на тобоганот

За полесно да ги разберете функциите и да ги пронајдете нивните деривати, можете да користите едноставна аналогија со светски познатата атракција - тобоганот. Ако ги погледнете од страна, можете дури и со око, без сложени пресметки, да ги одредите главните карактеристики на движењето на количката: во кои области ќе се издигне/спушти, каде ќе забрза/забави, колку пати ќе ги премине границите помеѓу искачувања/спуштања.

Функцијата прикажана на авионот може да се опише на ист начин. Во различни области ќе се зголемува и намалува на различни начини - овој процес може да се опише и одреди со помош на дериват. За да го направите ова, ги воведуваме следните дефиниции:

• Зголемувањето на функцијата е разликата помеѓу вредностите на y-оската.
• Зголемувањето на аргументот е разликата помеѓу вредностите на оската x.
• Стапката на промена на функцијата е односот на нејзиниот прираст кон зголемувањето на аргументот: dy/dx.

Колку е помал порастот на аргументот x, толку е поголема точноста на пресметките. Најголема точност се постигнува кога зголемувањето на аргументот се стреми кон нула. Во овој случај, за наоѓање деривати ќе бидат потребни голем број пресметки кои се стремат кон бесконечност (прилагодени за точност/градација).

Ако оваа задача е премногу тешка за некое лице, тогаш модерен компјутер може да се справи со неа за дел од секундата. Доволно е да користите специјална онлајн апликација која ќе го пронајде изводот на функцијата користејќи ги внесените податоци, дури и ако тие се вклучени во сложени формули со синуси, косинуси, корени и експоненти.