도함수 계산기
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수학적 분석과 물리학에서는 복잡한 함수와 변수를 설명하는 도함수가 널리 사용됩니다. 후자에는 전압, 화학 반응, 이동 속도 등이 포함될 수 있습니다.
즉, 상수 값으로 설명하기 어렵거나 불가능한 수량입니다. 예를 들어, 운전 중에 여러 번 가속하고 감속하는 움직이는 자동차의 속도. 함수의 수학적 미분은 그러한 수량을 설명, 체계화 및 분석하기 위한 것입니다.
함수의 파생
공식 정의에 따르면, 도함수는 인수가 0이 될 때 인수의 증가에 대한 함수의 증가 비율의 한계입니다. 도함수를 계산하는 과정을 미분이라고 합니다. 그리고 함수는 유한한 도함수가 있는 경우에만 미분 가능하다고 합니다.
함수는 한 양이 다른 양에 의존하는 것으로 설명할 수 있으며 좌표 평면에서 선으로 표시됩니다. 구별하려면:
- x축의 x 값을 취합니다.
- 선택한 x 값을 공식 y = f(x)에 대입합니다.
- x, y 형식으로 점의 좌표를 가져옵니다.
- x, y 좌표로 점을 구성합니다.
- 다른 모든 x 값을 대체하여 이 절차를 반복합니다.
도함수는 y 값의 증가가 x 값의 증가보다 크거나 작은 횟수를 표시합니다. 이러한 증분의 비율은 dy/dx로 표시되고 도함수는 f(x)로 표시됩니다.
약간의 역사
미분은 총의 기울기에 대한 발사체의 비행 범위의 의존성을 결정하기 위해 15세기부터 수학에서 사용되기 시작했습니다. 이 기술을 최초로 사용한 사람은 이탈리아 수학자 니콜로 폰타나 타르탈리아였습니다.
그리고 17세기에는 스위스의 베르누이 형제가 본격적으로 파생상품을 연구하기 시작했습니다. 남동생인 요한 베르누이(Johann Bernoulli)는 1687년에 "무한소 분석"의 기초가 된 미분 미적분학에 대한 체계적인 발표를 처음으로 발표했습니다. 1742년까지 과학자는 적분 미적분학 과정 개발을 완료하고 상미분 방정식을 풀기 위한 새로운 방법을 제안했습니다.
요한의 형인 야콥 베르누이(Jacob Bernoulli)는 도함수를 사용하여 평평한 곡선의 곡률을 찾았으며 로그 나선을 연구하는 데에도 사용했습니다. 실제로 미분의 반대말인 '적분'이라는 이름을 만든 사람은 Jacob Bernoulli였습니다.
17~18세기 초 베르누이 형제는 도함수 연구에 큰 공헌을 했으며, 변분의 수학적 계산의 토대를 마련했습니다.
17~19세기 유럽에서는 라이프니츠(Leibniz), 뉴턴(Newton), 라그랑주(Lagrange), 야코비(Jacobi), 바이어스트라스(Weierstrass), 르장드르(Legendre) 등 다른 저명한 과학자들도 파생상품 연구에 참여했습니다. 예를 들어, 미분에 대한 현대 표기법인 d(x)는 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)에 의해 도입되었고, 소수가 있는 도함수에 대한 표기법인 f'(x)는 조셉 루이 라그랑주(Joseph Louis Lagrange)에 의해 도입되었습니다.
'파생상품'이라는 용어 자체는 1797년 라그랑주에 의해 처음 사용되었습니다. 이 단어는 파생 - "파생"에서 유래한 프랑스어 파생어를 번역한 것입니다.
이후 많은 유럽 수학자들이 프랑스에서 도입된 표기법을 사용했고, 아일랜드 수학자 윌리엄 로완 해밀턴 덕분에 '델타'(∇) 표기법은 1853년에야 등장했다.
롤러코스터 비유
함수를 더 쉽게 이해하고 파생 상품을 찾을 수 있도록 세계적으로 유명한 명소인 롤러코스터에 대한 간단한 비유를 사용할 수 있습니다. 측면에서 보면 복잡한 계산 없이 눈으로도 트롤리 이동의 주요 특징을 확인할 수 있습니다. 어느 영역에서 상승/하강할지, 어디에서 가속/감속할지, 몇 번이나 상승/하강 사이의 경계를 넘을 것입니다.
평면에 묘사된 기능도 정확히 같은 방식으로 설명할 수 있습니다. 다양한 영역에서는 다양한 방식으로 증가하고 감소합니다. 이 프로세스는 파생 상품을 사용하여 설명하고 결정할 수 있습니다. 이를 위해 다음과 같은 정의를 도입합니다:
- 함수 증가량은 y축 값의 차이입니다.
- 인수 증분은 x축 값의 차이입니다.
- 함수의 변화율은 인수 증가에 대한 함수 증가의 비율입니다: dy/dx.
인수 x의 증분이 작을수록 계산의 정확도가 높아집니다. 인수 증분이 0이 될 때 가장 높은 정확도가 달성됩니다. 이 경우 도함수를 찾으려면 무한대에 가까워지는 여러 계산이 필요합니다(정확도/계조에 맞게 조정됨).
이 작업이 사람에게 너무 어려우면 최신 컴퓨터가 단 몇 초 만에 처리할 수 있습니다. 사인, 코사인, 근, 지수가 포함된 복잡한 공식에 포함되어 있는 경우에도 입력된 데이터를 사용하여 함수의 미분을 찾는 특별한 온라인 애플리케이션을 사용하는 것으로 충분합니다.