წარმოებულის კალკულატორი
![წარმოებულის კალკულატორი](/media/images/derivative_calculator.webp)
მათემატიკურ ანალიზსა და ფიზიკაში წარმოებული ფართოდ გამოიყენება, რომელიც აღწერს რთულ ფუნქციებსა და ცვლადებს. ეს უკანასკნელი შეიძლება მოიცავდეს ელექტრო ძაბვას, ქიმიურ რეაქციებს და მოძრაობის სიჩქარეს.
ანუ ნებისმიერი სიდიდე, რომელიც ძნელია ან შეუძლებელია აღწერო, როგორც მუდმივი მნიშვნელობა. მაგალითად, მოძრავი მანქანის სიჩქარე, რომელიც ბევრჯერ აჩქარებს და ანელებს მართვისას. ფუნქციის მათემატიკური წარმოებული მიზნად ისახავს აღწერს, სისტემატიზაციას და აანალიზებს ასეთ სიდიდეებს.
ფუნქციის წარმოებული
ოფიციალური განმარტების მიხედვით, წარმოებული არის ფუნქციის გაზრდის შეფარდების ზღვარი მისი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც ეს უკანასკნელი იხრება ნულისკენ. წარმოებულის გამოთვლის პროცესს დიფერენციაცია ეწოდება. ფუნქციას კი დიფერენცირებადი ეწოდება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მას აქვს სასრულ წარმოებული.
ფუნქცია შეიძლება აღიწეროს, როგორც ერთი სიდიდის დამოკიდებულება მეორეზე და გამოსახული იყოს კოორდინატულ სიბრტყეში წრფის სახით. მისი დიფერენცირების მიზნით:
- აიღეთ x მნიშვნელობა x ღერძზე.
- შეცვალეთ არჩეული x მნიშვნელობა ფორმულით y = f(x).
- მიიღეთ წერტილის კოორდინატები x, y ფორმატში.
- ააგეთ წერტილი x, y კოორდინატებით.
- ჩვენ ვიმეორებთ ამ პროცედურას, შევცვლით ყველა სხვა x მნიშვნელობას.
წარმოებული აჩვენებს, რამდენჯერ არის y მნიშვნელობის ზრდა მეტი ან ნაკლები x მნიშვნელობის ნამატზე. ამ ნამატების თანაფარდობა აღწერილია როგორც dy/dx, ხოლო წარმოებული როგორც f(x).
მცირე ისტორია
წარმოებულების გამოყენება მათემატიკაში ჯერ კიდევ მე-15 საუკუნეში დაიწყო - ჭურვების ფრენის დიაპაზონის დამოკიდებულების დასადგენად იარაღის დახრილობაზე. პირველი, ვინც გამოიყენა ეს ტექნიკა, იყო იტალიელი მათემატიკოსი ნიკოლო ფონტანა ტარტალია.
და მე-17 საუკუნეში ძმებმა ბერნოულებმა შვეიცარიიდან დაიწყეს წარმოებულების სერიოზულად შესწავლა. უმცროსმა ძმამ, იოჰან ბერნულმა, პირველად გამოაქვეყნა დიფერენციალური გამოთვლების სისტემატური პრეზენტაცია, რომელიც საფუძვლად დაედო „უსასრულო მცირე ანალიზს“ 1687 წელს. 1742 წლისთვის მეცნიერმა ასევე დაასრულა ინტეგრალური გამოთვლების კურსის შემუშავება და შემოგვთავაზა ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის ახალი მეთოდები.
იოჰანის უფროსმა ძმამ, იაკობ ბერნულმა გამოიყენა წარმოებული ბრტყელი მრუდი ხაზის მრუდის საპოვნელად და ასევე გამოიყენა იგი ლოგარითმული სპირალის შესასწავლად. სწორედ იაკობ ბერნულის ავტორი იყო სახელწოდება „ინტეგრალი“, რომელიც, ფაქტობრივად, დიფერენციალის საპირისპიროა.
ძმებმა ბერნულის მე-17-18 საუკუნეების მიჯნაზე დიდი წვლილი შეიტანეს წარმოებულების შესწავლაში და საფუძველი ჩაუყარეს ვარიაციების მათემატიკურ გამოთვლას.
მე-17-მე-19 საუკუნეებში ევროპაში წარმოებულების შესწავლაში ასევე მონაწილეობდნენ სხვა გამოჩენილი მეცნიერები: ლაიბნიცი, ნიუტონი, ლაგრანჟი, იაკობი, ვეიერშტრასი, ლეჟანდრი. მაგალითად, დიფერენციალის თანამედროვე აღნიშვნა - d(x) - შემოიღო გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცმა, ხოლო წარმოებულის აღნიშვნა მარტივი ასოებით - f'(x) - ჯოზეფ ლუი ლაგრანჟმა.
თავად ტერმინი „წარმოებული“ პირველად გამოიყენა ლაგრანჟმა 1797 წელს. ეს სიტყვა არის ფრანგული წარმოშობის თარგმანი, რომელიც მომდინარეობს წარმოშობიდან - „წარმოებული“.
შემდეგ, ბევრმა ევროპელმა მათემატიკოსმა გამოიყენა საფრანგეთში შემოღებული აღნიშვნა, ხოლო აღნიშვნა „დელტა“ (∇) გამოჩნდა მხოლოდ 1853 წელს, ირლანდიელი მათემატიკოსის უილიამ როუან ჰამილტონის წყალობით.
ატრაქციონის ანალოგი
ფუნქციების გასაადვილებლად და მათი წარმოებულების პოვნის მიზნით, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მარტივი ანალოგი მსოფლიოში ცნობილ ატრაქციონთან - ატრაქციონი. თუ მათ გვერდიდან შეხედავთ, თვალითაც კი, რთული გამოთვლების გარეშე, შეგიძლიათ დაადგინოთ ტროლეიბის მოძრაობის ძირითადი მახასიათებლები: რა ადგილებში ავა/ჩამოვა, სად აჩქარდება/შენელდება, რამდენჯერ. ის გადაკვეთს საზღვრებს აღმართებს/დაღმართებს შორის.
სიბრტყეზე გამოსახული ფუნქციის აღწერა შეიძლება ზუსტად ანალოგიურად. სხვადასხვა სფეროში ის გაიზრდება და შემცირდება სხვადასხვა გზით - ეს პროცესი შეიძლება აღწერილი და განისაზღვროს წარმოებულის გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ წარმოგიდგენთ შემდეგ განმარტებებს:
- ფუნქციის ზრდა არის განსხვავება მნიშვნელობებს შორის y-ღერძზე.
- არგუმენტის ზრდა არის განსხვავება x-ღერძზე არსებულ მნიშვნელობებს შორის.
- ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე არის მისი ზრდის შეფარდება არგუმენტის ზრდასთან: dy/dx.
რაც უფრო მცირეა x არგუმენტის ზრდა, მით უფრო მაღალია გამოთვლების სიზუსტე. უმაღლესი სიზუსტე მიიღწევა, როდესაც არგუმენტის ზრდა ნულამდე მიდის. ამ შემთხვევაში, წარმოებულების პოვნა დასჭირდება უსასრულობისკენ მიდრეკილი გამოთვლების რაოდენობას (მორგებული სიზუსტისთვის/გრადაციისთვის).
თუ ეს ამოცანა ძალიან რთულია ადამიანისთვის, მაშინ თანამედროვე კომპიუტერს შეუძლია გაუმკლავდეს მას წამის მეასედში. საკმარისია გამოიყენოთ სპეციალური ონლაინ აპლიკაცია, რომელიც იპოვის ფუნქციის წარმოებულს შეყვანილი მონაცემების გამოყენებით, მაშინაც კი, თუ ისინი შედიან რთულ ფორმულებში სინუსებით, კოსინუსებით, ფესვებითა და ექსპონენტებით.