微分計算機
数学的解析や物理学では、導関数は複雑な関数や変数を記述するために広く使用されています。 後者には、電圧、化学反応、移動速度が含まれる場合があります。
つまり、定数値として記述することが困難または不可能な量です。 たとえば、走行中に何度も加速と減速を繰り返す車の速度。 関数の数学的導関数は、そのような量を記述、体系化、分析することを目的としています。
関数の導関数
公式の定義によれば、導関数は、関数の増分と引数の増分がゼロになる傾向がある場合の、関数の増分とその引数の増分との比率の限界です。 導関数を計算するプロセスは微分と呼ばれます。 また、関数は有限導関数を持つ場合にのみ微分可能と呼ばれます。
関数は、ある量の別の量への依存として記述され、座標平面に線として表されます。 区別するには:
- x 軸の x 値を取得します。
- 選択した x の値を式 y = f(x) に代入します。
- 点の座標を x、y 形式で取得します。
- 座標 x、y を使用して点を作成します。
- この手順を繰り返し、他のすべての x 値を置き換えます。
導関数は、y 値の増分が x 値の増分より何倍大きいか小さいかを示します。 これらの増分の比率は dy/dx として表され、導関数は f(x) として表されます。
ちょっとした歴史
導関数は 15 世紀に数学で使用され始めました。これは、銃の傾斜に対する発射体の飛行距離の依存性を決定するためでした。 この手法を最初に使用したのは、イタリアの数学者ニッコロ フォンタナ タルターリアです。
そして 17 世紀には、スイスのベルヌーイ兄弟がデリバティブの研究を本格的に始めました。 弟のヨハン・ベルヌーイは、1687 年に「微分解析」の基礎となった微分積分の体系的なプレゼンテーションを初めて発表しました。 1742 年までに、科学者は積分微積分のコースの開発も完了し、常微分方程式を解くための新しい方法を提案しました。
ヨハンの兄であるヤコブ ベルヌーイは、導関数を使用して平坦な曲線の曲率を見つけ、対数螺旋の研究にも使用しました。 「積分」という名前の作者はジェイコブ ベルヌーイであり、実際には微分とは反対の意味です。
17 世紀から 18 世紀初頭のベルヌーイ兄弟は、導関数の研究に多大な貢献をし、数学的な変分の計算の基礎を築きました。
ヨーロッパでは 17 世紀から 19 世紀にかけて、ライプニッツ、ニュートン、ラグランジュ、ヤコビ、ヴァイエルシュトラス、ルジャンドルなどの著名な科学者も導関数の研究に携わっていました。 たとえば、微分の現代的な表記法 - d(x) - はゴットフリート ヴィルヘルム ライプニッツによって導入され、素数を伴う導関数の表記法 - f'(x) - はジョゼフ ルイス ラグランジュによって導入されました。
「導関数」という用語自体は、1797 年にラグランジュによって初めて使用されました。 この単語は、フランス語の derivee の翻訳であり、derive (「派生」) に由来します。
その後、多くのヨーロッパの数学者がフランスで導入された表記法を使用し、「デルタ」(∇) という表記法が登場したのは 1853 年になってからで、アイルランドの数学者ウィリアム ローワン ハミルトンのおかげです。
ジェットコースターのたとえ
関数を理解し、その派生関数を見つけやすくするために、世界的に有名なアトラクションであるジェット コースターに簡単に例えることができます。 横から見ると、複雑な計算をしなくても、トロリーの動きの主な特徴、つまりどの領域で上昇/下降するか、どこで加速/減速するか、何回かを判断することができます。上りと下りの間の境界を越えます。
平面上に描かれた関数も全く同じ方法で記述できます。 異なる領域では、異なる方法で増加および減少します。このプロセスは導関数を使用して記述および決定できます。 これを行うために、次の定義を導入します。
- 関数の増分は、Y 軸上の値の差です。
- 引数の増分は、X 軸上の値の差です。
- 関数の変化率は、引数の増分に対する関数の増分の比率、dy/dx です。
引数 x の増分が小さいほど、計算の精度は高くなります。 引数の増分がゼロに近づく傾向にある場合、最高の精度が達成されます。 この場合、導関数を見つけるには、無限に達する傾向にある多数の計算が必要になります (精度/階調を調整して)。
この作業が人間にとって難しすぎる場合でも、最新のコンピュータであれば一瞬で処理できます。 サイン、コサイン、ルート、指数を含む複雑な数式に関数が含まれている場合でも、入力されたデータを使用して関数の導関数を見つける特別なオンライン アプリケーションを使用するだけで十分です。
