Calcolatrice derivata
Nell'analisi matematica e nella fisica, la derivata è ampiamente utilizzata per descrivere funzioni e variabili complesse. Quest'ultimo può includere tensione elettrica, reazioni chimiche e velocità di movimento.
Cioè, qualsiasi quantità che sia difficile o impossibile descrivere come valore costante. Ad esempio, la velocità di un'auto in movimento che accelera e decelera molte volte durante la guida. La derivata matematica di una funzione ha lo scopo di descrivere, sistematizzare e analizzare tali quantità.
Derivata di una funzione
Secondo la definizione ufficiale, la derivata è il limite del rapporto tra l'incremento di una funzione e l'incremento del suo argomento quando quest'ultimo tende a zero. Il processo di calcolo della derivata è chiamato differenziazione. E una funzione si dice differenziabile solo se ha una derivata finita.
Una funzione può essere descritta come la dipendenza di una quantità da un'altra e rappresentata nel piano delle coordinate come una linea. Per differenziarlo:
- Prendi il valore x sull'asse x.
- Sostituisci il valore x selezionato nella formula y = f(x).
- Ottieni le coordinate del punto nel formato x, y.
- Costruisci un punto con coordinate x, y.
- Ripetiamo questa procedura, sostituendo tutti gli altri valori x.
La derivata mostrerà quante volte l'incremento nel valore y è maggiore o minore dell'incremento nel valore x. Il rapporto tra questi incrementi è descritto come dy/dx e la derivata come f(x).
Un po' di storia
I derivati iniziarono ad essere utilizzati in matematica già nel XV secolo, per determinare la dipendenza della portata dei proiettili dall'inclinazione dei cannoni. Il primo ad utilizzare questa tecnica fu il matematico italiano Niccolò Fontana Tartaglia.
E nel XVII secolo, i fratelli Bernoulli dalla Svizzera iniziarono a studiare seriamente i derivati. Il fratello minore, Johann Bernoulli, pubblicò per primo una presentazione sistematica del calcolo differenziale, che divenne la base per l’“Analisi infinitesimale” nel 1687. Nel 1742, lo scienziato completò anche lo sviluppo di un corso sul calcolo integrale e propose nuovi metodi per risolvere le equazioni differenziali ordinarie.
Il fratello maggiore di Johann, Jacob Bernoulli, usò la derivata per trovare la curvatura di una linea curva piatta e la usò anche per studiare la spirale logaritmica. È stato Jacob Bernoulli l'autore del nome "integrale", che, in realtà, è l'opposto di un differenziale.
I fratelli Bernoulli a cavallo tra il XVII e il XVIII secolo diedero un enorme contributo allo studio delle derivate e gettarono le basi per il calcolo matematico delle variazioni.
Nel periodo dal XVII al XIX secolo in Europa, altri eminenti scienziati furono coinvolti nello studio dei derivati: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Ad esempio, la notazione moderna per un differenziale - d(x) - è stata introdotta da Gottfried Wilhelm Leibniz e la notazione per un derivato con un primo - f'(x) - da Joseph Louis Lagrange.
Il termine stesso “derivato” fu usato per la prima volta da Lagrange nel 1797. Questa parola è una traduzione del francese derivee, che deriva da derive - “derivato”.
Successivamente, molti matematici europei utilizzarono la notazione introdotta in Francia, e la notazione “delta” (∇) apparve solo nel 1853, grazie al matematico irlandese William Rowan Hamilton.
Analogia delle montagne russe
Per facilitare la comprensione delle funzioni e la ricerca dei loro derivati, puoi utilizzare una semplice analogia con l'attrazione di fama mondiale: le montagne russe. Se li guardi di lato, puoi anche a occhio, senza calcoli complessi, determinare le caratteristiche principali del movimento del carrello: in quali zone salirà/scenderà, dove accelererà/rallenterà, quante volte supererà i confini tra salite/discese.
La funzione rappresentata sull'aereo può essere descritta esattamente allo stesso modo. In diverse aree aumenterà e diminuirà in modi diversi: questo processo può essere descritto e determinato utilizzando un derivato. Per fare ciò, introduciamo le seguenti definizioni:
- L'incremento della funzione è la differenza tra i valori sull'asse y.
- L'incremento dell'argomento è la differenza tra i valori sull'asse x.
- La velocità di variazione di una funzione è il rapporto tra il suo incremento e l'incremento dell'argomento: dy/dx.
Maggiore è l'incremento dell'argomento x, maggiore è la precisione dei calcoli. La massima precisione si ottiene quando l'incremento dell'argomento tende a zero. In questo caso, trovare le derivate richiederà un numero di calcoli tendenti all'infinito (aggiustati per precisione/gradazione).
Se questo compito è troppo difficile per una persona, un computer moderno può gestirlo in una frazione di secondo. È sufficiente utilizzare un'apposita applicazione online che troverà la derivata di una funzione utilizzando i dati inseriti, anche se sono inclusi in formule complesse con seni, coseni, radici ed esponenti.