Derivativni kalkulator
![Derivativni kalkulator](/media/images/derivative_calculator.webp)
U matematičkoj analizi i fizici derivacija se naširoko koristi, opisujući složene funkcije i varijable. Ovo posljednje može uključivati električni napon, kemijske reakcije i brzinu kretanja.
To jest, svaka količina koju je teško ili nemoguće opisati kao konstantnu vrijednost. Na primjer, brzina automobila u pokretu koji mnogo puta ubrzava i usporava tijekom vožnje. Matematička derivacija funkcije namijenjena je opisivanju, sistematizaciji i analizi takvih veličina.
Derivacija funkcije
Prema službenoj definiciji, derivacija je granica omjera prirasta funkcije i prirasta njezinog argumenta kada potonji teži nuli. Proces izračuna derivacije naziva se diferencijacija. A funkcija se naziva diferencijabilnom samo ako ima konačnu derivaciju.
Funkcija se može opisati kao ovisnost jedne veličine o drugoj i prikazati u koordinatnoj ravnini kao linija. Da biste ga razlikovali:
- Uzmite vrijednost x na os x.
- Zamijenite odabranu x vrijednost u formulu y = f(x).
- Dohvatite koordinate točke u formatu x, y.
- Konstruirajte točku s koordinatama x, y.
- Ponavljamo ovaj postupak, zamjenjujući sve druge x vrijednosti.
Derivacija će pokazati koliko je puta povećanje vrijednosti y veće ili manje od povećanja vrijednosti x. Omjer ovih inkremenata opisuje se kao dy/dx, a derivacija kao f(x).
Malo povijesti
Izvedenice su se počele koristiti u matematici još u 15. stoljeću - za određivanje ovisnosti dometa projektila o nagibu pušaka. Prvi koji je upotrijebio ovu tehniku bio je talijanski matematičar Niccolo Fontana Tartaglia.
A u 17. stoljeću, braća Bernoulli iz Švicarske počela su ozbiljno proučavati derivate. Mlađi brat, Johann Bernoulli, prvi je objavio sustavnu prezentaciju diferencijalnog računa, koja je postala osnova za "infinitezimalnu analizu" 1687. godine. Do 1742. godine znanstvenik je također dovršio razvoj tečaja o integralnom računu i predložio nove metode za rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi.
Johannov stariji brat, Jacob Bernoulli, upotrijebio je derivaciju da pronađe zakrivljenost ravne zakrivljene linije, a upotrijebio ju je i za proučavanje logaritamske spirale. Jacob Bernoulli bio je autor naziva "integral", koji je zapravo suprotan od diferencijala.
Braća Bernoulli na prijelazu iz 17. u 18. stoljeće dala su ogroman doprinos proučavanju derivacija i postavila temelje matematičkom varijacijskom računu.
U razdoblju od 17. do 19. stoljeća u Europi proučavanjem derivata bavili su se i drugi ugledni znanstvenici: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Na primjer, modernu oznaku za diferencijal - d(x) - uveo je Gottfried Wilhelm Leibniz, a oznaku za derivaciju s prostim brojem - f'(x) - Joseph Louis Lagrange.
Sam izraz "derivativa" prvi je upotrijebio Lagrange 1797. Ova riječ je prijevod francuske riječi derivee, koja dolazi od derive - “izvedeno.”
Potom su mnogi europski matematičari koristili notaciju uvedenu u Francuskoj, a oznaka "delta" (∇) pojavila se tek 1853. godine, zahvaljujući irskom matematičaru Williamu Rowanu Hamiltonu.
Analogija s toboganom
Da biste lakše razumjeli funkcije i pronašli njihove izvedenice, možete se poslužiti jednostavnom analogijom sa svjetski poznatom atrakcijom - toboganom. Ako ih pogledate sa strane, možete čak i okom, bez složenih izračuna, odrediti glavne značajke kretanja kolica: u kojim područjima će se podići / spustiti, gdje će ubrzati / usporiti, koliko puta prijeći će granice između uspona/spustova.
Funkcija prikazana na ravnini može se opisati na točno isti način. U različitim područjima povećavat će se i smanjivati na različite načine - ovaj se proces može opisati i odrediti pomoću izvedenice. Da bismo to učinili, uvodimo sljedeće definicije:
- Prirast funkcije je razlika između vrijednosti na y-osi.
- Prirast argumenta je razlika između vrijednosti na x-osi.
- Brzina promjene funkcije je omjer njenog prirasta i prirasta argumenta: dy/dx.
Što je manji prirast argumenta x, veća je točnost izračuna. Najveća se točnost postiže kada prirast argumenta teži nuli. U ovom slučaju, pronalaženje izvedenica zahtijevat će niz izračuna koji teže beskonačnosti (prilagođeno za točnost/gradaciju).
Ako je ovaj zadatak pretežak za osobu, onda ga moderno računalo može riješiti u djeliću sekunde. Dovoljno je koristiti posebnu online aplikaciju koja će pomoću unesenih podataka pronaći izvod funkcije, čak i ako su uključeni u složene formule sa sinusima, kosinusima, korijenima i eksponentima.