डेरिवेटिव कैलकुलेटर

गणितीय विश्लेषण और भौतिकी में, जटिल कार्यों और चर का वर्णन करते हुए व्युत्पन्न का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उत्तरार्द्ध में विद्युत वोल्टेज, रासायनिक प्रतिक्रियाएं और गति की गति शामिल हो सकती है।

अर्थात, कोई भी मात्रा जिसे स्थिर मान के रूप में वर्णित करना कठिन या असंभव है। उदाहरण के लिए, चलती कार की गति जो गाड़ी चलाते समय कई बार तेज और धीमी हो जाती है। किसी फ़ंक्शन के गणितीय व्युत्पन्न का उद्देश्य ऐसी मात्राओं का वर्णन, व्यवस्थित और विश्लेषण करना है।

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

आधिकारिक परिभाषा के अनुसार, व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन की वृद्धि और उसके तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा है जब बाद वाला शून्य हो जाता है। व्युत्पन्न की गणना करने की प्रक्रिया को विभेदीकरण कहा जाता है। और किसी फ़ंक्शन को अवकलनीय तभी कहा जाता है जब उसका कोई परिमित व्युत्पन्न हो।

एक फ़ंक्शन को एक मात्रा की दूसरे पर निर्भरता के रूप में वर्णित किया जा सकता है, और समन्वय विमान में एक रेखा के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसे अलग करने के लिए:

• x मान को x-अक्ष पर लें।
• चयनित x मान को सूत्र y = f(x) में प्रतिस्थापित करें।
• बिंदु के निर्देशांक x, y प्रारूप में प्राप्त करें।
• निर्देशांक x, y के साथ एक बिंदु बनाएं।
• हम अन्य सभी x मानों को प्रतिस्थापित करते हुए इस प्रक्रिया को दोहराते हैं।

व्युत्पन्न दिखाएगा कि y मान में वृद्धि कितनी बार x मान में वृद्धि से अधिक या कम है। इन वृद्धियों के अनुपात को dy/dx और व्युत्पन्न को f(x) के रूप में वर्णित किया गया है।

थोड़ा इतिहास

गणित में डेरिवेटिव का उपयोग 15वीं शताब्दी में शुरू हुआ - बंदूकों के झुकाव पर प्रक्षेप्य की उड़ान सीमा की निर्भरता निर्धारित करने के लिए। इस तकनीक का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति इतालवी गणितज्ञ निकोलो फोंटाना टार्टाग्लिया थे।

और 17वीं शताब्दी में, स्विट्जरलैंड के बर्नौली भाइयों ने डेरिवेटिव का गंभीरता से अध्ययन करना शुरू किया। छोटे भाई, जोहान बर्नौली ने सबसे पहले डिफरेंशियल कैलकुलस की एक व्यवस्थित प्रस्तुति प्रकाशित की, जो 1687 में "इनफिनिटेसिमल एनालिसिस" का आधार बनी। 1742 तक, वैज्ञानिक ने इंटीग्रल कैलकुलस पर एक पाठ्यक्रम का विकास भी पूरा कर लिया और साधारण अंतर समीकरणों को हल करने के लिए नए तरीकों का प्रस्ताव रखा।

जोहान के बड़े भाई, जैकब बर्नौली ने एक सपाट घुमावदार रेखा की वक्रता खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग किया, और इसका उपयोग लॉगरिदमिक सर्पिल का अध्ययन करने के लिए भी किया। यह जैकब बर्नौली ही थे जो "इंटीग्रल" नाम के लेखक थे, जो वास्तव में, एक अंतर के विपरीत है।

17वीं-18वीं शताब्दी के मोड़ पर बर्नौली बंधुओं ने डेरिवेटिव के अध्ययन में बहुत बड़ा योगदान दिया और विविधताओं के गणितीय कलन की नींव रखी।

यूरोप में 17वीं से 19वीं शताब्दी की अवधि में, अन्य प्रतिष्ठित वैज्ञानिक भी डेरिवेटिव के अध्ययन में शामिल थे: लाइबनिज़, न्यूटन, लैग्रेंज, जैकोबी, वीयरस्ट्रैस, लीजेंड्रे। उदाहरण के लिए, एक अंतर के लिए आधुनिक संकेतन - d(x) - गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज द्वारा पेश किया गया था, और एक अभाज्य के साथ व्युत्पन्न के लिए संकेतन - f'(x) - जोसेफ लुईस लैग्रेंज द्वारा पेश किया गया था।

शब्द "व्युत्पन्न" का प्रयोग पहली बार लैग्रेंज द्वारा 1797 में किया गया था। यह शब्द फ़्रेंच व्युत्पन्न का अनुवाद है, जो व्युत्पन्न - "व्युत्पन्न" से आया है।

इसके बाद, कई यूरोपीय गणितज्ञों ने फ्रांस में शुरू किए गए नोटेशन का उपयोग किया, और नोटेशन "डेल्टा" (∇) आयरिश गणितज्ञ विलियम रोवन हैमिल्टन की बदौलत 1853 में ही सामने आया।

रोलर कोस्टर सादृश्य

फ़ंक्शंस को समझना और उनके डेरिवेटिव ढूंढना आसान बनाने के लिए, आप विश्व प्रसिद्ध आकर्षण - एक रोलर कोस्टर के साथ एक सरल सादृश्य का उपयोग कर सकते हैं। यदि आप उन्हें बगल से देखते हैं, तो आप आंखों से भी, जटिल गणनाओं के बिना, ट्रॉली की गति की मुख्य विशेषताएं निर्धारित कर सकते हैं: यह किन क्षेत्रों में उठेगा/उतरेगा, कहां तेज/धीमा होगा, कितनी बार यह आरोह/अवरोह के बीच की सीमाओं को पार कर जाएगा।

समतल पर दर्शाए गए फ़ंक्शन को बिल्कुल उसी तरह वर्णित किया जा सकता है। विभिन्न क्षेत्रों में यह अलग-अलग तरीकों से बढ़ेगा और घटेगा - इस प्रक्रिया को व्युत्पन्न का उपयोग करके वर्णित और निर्धारित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित परिभाषाएँ प्रस्तुत करते हैं:

• फ़ंक्शन इंक्रीमेंट y-अक्ष पर मानों के बीच का अंतर है।
• तर्क वृद्धि x-अक्ष पर मानों के बीच का अंतर है।
• किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर उसकी वृद्धि और तर्क की वृद्धि का अनुपात है: dy/dx।

तर्क x की वृद्धि जितनी कम होगी, गणना की सटीकता उतनी ही अधिक होगी। उच्चतम सटीकता तब प्राप्त होती है जब तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है। इस मामले में, डेरिवेटिव खोजने के लिए अनंत तक की कई गणनाओं की आवश्यकता होगी (सटीकता/क्रमांकन के लिए समायोजित)।

यदि यह कार्य किसी व्यक्ति के लिए बहुत कठिन है, तो एक आधुनिक कंप्यूटर इसे पल भर में संभाल सकता है। यह एक विशेष ऑनलाइन एप्लिकेशन का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है जो दर्ज किए गए डेटा का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढेगा, भले ही वे साइन, कोसाइन, जड़ों और घातांक के साथ जटिल सूत्रों में शामिल हों।