מחשבון נגזרות
![מחשבון נגזרות](/media/images/derivative_calculator.webp)
בניתוח מתמטי ובפיזיקה, הנגזרת נמצאת בשימוש נרחב, ומתארת פונקציות ומשתנים מורכבים. האחרון עשוי לכלול מתח חשמלי, תגובות כימיות ומהירות תנועה.
כלומר, כל כמות שקשה או בלתי אפשרי לתאר כערך קבוע. למשל מהירות של מכונית נוסעת שמאיצה ומאטה פעמים רבות תוך כדי נסיעה. הנגזרת המתמטית של פונקציה נועדה לתאר, לסדר ולנתח כמויות כאלה.
נגזרת של פונקציה
לפי ההגדרה הרשמית, הנגזרת היא הגבול של היחס בין התוספת של פונקציה לתוספת הארגומנט שלה כאשר האחרון שואף לאפס. תהליך חישוב הנגזרת נקרא בידול. ופונקציה נקראת דיפרנציאלית רק אם יש לה נגזרת סופית.
ניתן לתאר פונקציה כתלות של כמות אחת באחרת, ולהציג במישור הקואורדינטות כקו. כדי להבדיל אותו:
- קח את ערך ה-x על ציר ה-X.
- החלף את ערך ה-x שנבחר בנוסחה y = f(x).
- קבל את הקואורדינטות של הנקודה בפורמט x, y.
- בנה נקודה עם קואורדינטות x, y.
- אנו חוזרים על הליך זה ומחליפים את כל שאר ערכי ה-x.
הנגזרת תראה כמה פעמים התוספת בערך y גדולה או קטנה מהתוספת בערך x. היחס בין המרווחים הללו מתואר כ-dy/dx, והנגזרת כ-f(x).
קצת היסטוריה
נגזרות החלו לשמש במתמטיקה עוד במאה ה-15 - כדי לקבוע את התלות של טווח הטיסה של קליעים בנטייה של רובים. הראשון שהשתמש בטכניקה זו היה המתמטיקאי האיטלקי ניקולו פונטנה טרטליה.
ובמאה ה-17, האחים ברנולי משוויץ החלו ללמוד נגזרות ברצינות. האח הצעיר, יוהאן ברנולי, פרסם לראשונה הצגה שיטתית של חשבון דיפרנציאלי, שהפך לבסיס ל"ניתוח אינפיניטסימלי" ב-1687. עד 1742, המדען גם השלים את פיתוחו של קורס על חשבון אינטגרלי והציע שיטות חדשות לפתרון משוואות דיפרנציאליות רגילות.
אחיו הגדול של ג'והן, ג'ייקוב ברנולי, השתמש בנגזרת כדי למצוא את העקמומיות של קו עקום שטוח, וגם השתמש בה כדי לחקור את הספירלה הלוגריתמית. זה היה ג'ייקוב ברנולי שהיה מחבר השם "אינטגרל", שלמעשה הוא ההפך מדיפרנציאל.
האחים ברנולי בתחילת המאות ה-17-18 תרמו תרומה עצומה לחקר הנגזרות, והניחו את הבסיס לחישוב המתמטי של הווריאציות.
בתקופה שבין המאה ה-17 למאה ה-19 באירופה, היו מעורבים גם מדענים בולטים אחרים בחקר נגזרות: לייבניץ, ניוטון, לגראנז', יעקובי, ויירשטראס, לג'נדר. לדוגמה, הסימון המודרני של דיפרנציאל - d(x) - הוצג על ידי גוטפריד וילהלם לייבניץ, והסימון לנגזרת עם ראשוני - f'(x) - על ידי יוסף לואיס לגראנז'.
המונח "נגזרת" עצמו שימש לראשונה על ידי לגרנז' בשנת 1797. מילה זו היא תרגום של הצרפתית נגזרת, שמקורה בנגזרת - "נגזרת."
לאחר מכן, מתמטיקאים אירופאים רבים השתמשו בסימון שהוצג בצרפת, והסימן "דלתא" (∇) הופיע רק בשנת 1853, הודות למתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון.
אנלוגיה לרכבת הרים
כדי להקל על הבנת הפונקציות ומציאת הנגזרות שלהן, אתה יכול להשתמש באנלוגיה פשוטה עם האטרקציה המפורסמת בעולם - רכבת הרים. אם מסתכלים עליהם מהצד, אפשר אפילו בעין, ללא חישובים מורכבים, לקבוע את המאפיינים העיקריים של תנועת העגלה: באילו אזורים היא תעלה/ירד, איפה היא תאיץ/יאט, כמה פעמים. הוא יחצה את הגבולות בין עליות/ירידות.
ניתן לתאר את הפונקציה המתוארת במישור בדיוק באותו אופן. באזורים שונים הוא יגדל ויקטן בדרכים שונות – תהליך זה ניתן לתאר ולקבוע באמצעות נגזרת. לשם כך, אנו מציגים את ההגדרות הבאות:
- תוספת פונקציה היא ההפרש בין הערכים בציר ה-y.
- תוספת הארגומנט היא ההפרש בין הערכים בציר ה-x.
- קצב השינוי של פונקציה הוא היחס בין התוספת שלה לתוספת הארגומנט: dy/dx.
ככל שהתוספת של הארגומנט x קטנה יותר, כך הדיוק של החישובים גבוה יותר. הדיוק הגבוה ביותר מושג כאשר התוספת של הטיעון שואפת לאפס. במקרה זה, איתור נגזרות ידרוש מספר חישובים הנוטים לאינסוף (מותאם לדיוק/הדרגה).
אם משימה זו קשה מדי עבור אדם, אז מחשב מודרני יכול להתמודד עם זה בשבריר שנייה. מספיק להשתמש באפליקציה מקוונת מיוחדת שתמצא את הנגזרת של פונקציה באמצעות הנתונים שהוזנו, גם אם הם נכללים בנוסחאות מורכבות עם סינוסים, קוסינוסים, שורשים ואקספונטים.