Derivaattalaskin
![Derivaattalaskin](/media/images/derivative_calculator.webp)
Matemaattisessa analyysissä ja fysiikassa derivaatta käytetään laajalti, ja se kuvaa monimutkaisia funktioita ja muuttujia. Jälkimmäinen voi sisältää sähköjännitteen, kemialliset reaktiot ja liikenopeuden.
Toisin sanoen mikä tahansa suure, jota on vaikea tai mahdotonta kuvata vakioarvona. Esimerkiksi liikkuvan auton nopeus, joka kiihdyttää ja hidastaa monta kertaa ajon aikana. Funktion matemaattinen derivaatta on tarkoitettu kuvaamaan, systematisoimaan ja analysoimaan tällaisia suureita.
Funktion johdannainen
Virallisen määritelmän mukaan derivaatta on raja funktion inkrementin ja argumentin lisäyksen suhteen, kun jälkimmäinen pyrkii nollaan. Derivaatan laskentaprosessia kutsutaan differentiaatioksi. Ja funktiota kutsutaan differentioituvaksi vain, jos sillä on äärellinen derivaatta.
Funktion voidaan kuvata yhden suuren riippuvuutena toisesta, ja se voidaan kuvata koordinaattitasossa suorana. Voit erottaa sen seuraavasti:
- Ota x-arvo x-akselilta.
- Korvaa valittu x-arvo kaavaan y = f(x).
- Hae pisteen koordinaatit muodossa x, y.
- Luo piste koordinaatteilla x, y.
- Toistamme tämän menettelyn ja korvaamme kaikki muut x-arvot.
Didervaatta näyttää, kuinka monta kertaa y-arvon lisäys on suurempi tai pienempi kuin x-arvon lisäys. Näiden lisäysten suhdetta kuvataan muodossa dy/dx ja derivaatta f(x).
Hieman historiaa
Johdannaisia alettiin käyttää matematiikassa jo 1400-luvulla - määrittämään ammusten lentoetäisyyden riippuvuutta aseiden kaltevuudesta. Ensimmäinen, joka käytti tätä tekniikkaa, oli italialainen matemaatikko Niccolo Fontana Tartaglia.
Ja 1600-luvulla Bernoullin veljekset Sveitsistä alkoivat tutkia johdannaisia tosissaan. Nuorempi veli Johann Bernoulli julkaisi ensimmäisen kerran systemaattisen esityksen differentiaalilaskennasta, josta tuli "Infinitesimal Analysis" -analyysin perusta vuonna 1687. Vuoteen 1742 mennessä tiedemies sai myös päätökseen integraalilaskennan kurssin ja ehdotti uusia menetelmiä tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi.
Johannen vanhempi veli Jacob Bernoulli käytti derivaatta löytääkseen litteän kaarevan viivan kaarevuuden ja käytti sitä myös logaritmisen spiraalin tutkimiseen. Jacob Bernoulli oli nimen "integraali" kirjoittaja, joka itse asiassa on differentiaalin vastakohta.
Bernoullin veljekset 1600-1700-luvun vaihteessa antoivat valtavan panoksen derivaattojen tutkimukseen ja loivat perustan matemaattiselle variaatiolaskelmille.
1600- ja 1800-luvuilla Euroopassa johdannaisten tutkimukseen osallistui myös muita merkittäviä tiedemiehiä: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Esimerkiksi Gottfried Wilhelm Leibniz esitteli nykyaikaisen differentiaalimerkinnän - d(x) - ja Joseph Louis Lagrange merkinnän derivaatalle, jonka alkuluku on f'(x).
Lagrange käytti itse termiä "johdannainen" ensimmäisen kerran vuonna 1797. Tämä sana on käännös ranskan kielestä derivee, joka tulee sanasta derive - "johdettu."
Myöhemmin monet eurooppalaiset matemaatikot käyttivät Ranskassa käyttöön otettua merkintää, ja merkintä "delta" (∇) ilmestyi vasta vuonna 1853 irlantilaisen matemaatikon William Rowan Hamiltonin ansiosta.
Vuoristorata-analogia
Jotta funktioiden ymmärtäminen ja niiden johdannaisten löytäminen on helpompaa, voit käyttää yksinkertaista analogiaa maailmankuulun nähtävyyden - vuoristoradan - kanssa. Jos katsot niitä sivulta, voit jopa silmällä, ilman monimutkaisia laskelmia, määrittää vaunun liikkeen pääpiirteet: millä alueilla se nousee / laskeutuu, missä se kiihtyy / hidastuu, kuinka monta kertaa se ylittää nousujen/laskujen väliset rajat.
Tasossa kuvattu toiminto voidaan kuvata täsmälleen samalla tavalla. Eri alueilla se kasvaa ja laskee eri tavoin - tämä prosessi voidaan kuvata ja määrittää derivaatan avulla. Tätä varten otamme käyttöön seuraavat määritelmät:
- Funktion lisäys on y-akselin arvojen välinen ero.
- Argumentin lisäys on x-akselin arvojen välinen ero.
- Funktion muutosnopeus on sen lisäyksen suhde argumentin kasvuun: dy/dx.
Mitä pienempi argumentin x lisäys on, sitä suurempi on laskelmien tarkkuus. Suurin tarkkuus saavutetaan, kun argumentin lisäys pyrkii nollaan. Tässä tapauksessa johdannaisten löytäminen vaatii useita laskelmia, jotka ovat taipuvaisia äärettömyyteen (tarkkuuden/asteikon mukaan säädetty).
Jos tämä tehtävä on liian vaikea henkilölle, nykyaikainen tietokone pystyy käsittelemään sen sekunnin murto-osassa. Riittää, kun käytät erityistä online-sovellusta, joka löytää funktion derivaatan syötetyistä tiedoista, vaikka ne sisältyisivätkin monimutkaisiin kaavoihin, joissa on sinejä, kosineja, juuria ja eksponenteja.