ماشین حساب مشتق
![ماشین حساب مشتق](/media/images/derivative_calculator.webp)
در تجزیه و تحلیل ریاضی و فیزیک، مشتق به طور گسترده ای استفاده می شود و توابع و متغیرهای پیچیده را توصیف می کند. مورد دوم ممکن است شامل ولتاژ الکتریکی، واکنش های شیمیایی و سرعت حرکت باشد.
یعنی هر کمیتی که توصیف آن به عنوان یک مقدار ثابت دشوار یا غیرممکن است. به عنوان مثال سرعت یک ماشین در حال حرکت که در حین رانندگی بارها شتاب و کاهش سرعت می گیرد. مشتق ریاضی یک تابع برای توصیف، نظامبندی و تحلیل چنین مقادیری در نظر گرفته شده است.
مشتق یک تابع
طبق تعریف رسمی، مشتق حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان آن زمانی است که دومی به صفر میل می کند. فرآیند محاسبه مشتق را تمایز می گویند. و یک تابع فقط در صورتی قابل تشخیص نامیده می شود که مشتق محدودی داشته باشد.
یک تابع را می توان به عنوان وابستگی یک کمیت به کمیت دیگر توصیف کرد و در صفحه مختصات به عنوان یک خط نشان داد. برای متمایز کردن آن:
- مقدار x را در محور x بگیرید.
- مقدار x انتخاب شده را با فرمول y = f(x) جایگزین کنید.
- مختصات نقطه را در قالب x، y بدست آورید.
- یک نقطه با مختصات x، y بسازید.
- ما این روش را تکرار می کنیم و همه مقادیر x را جایگزین می کنیم.
مشتق نشان خواهد داد که چند برابر افزایش مقدار y بیشتر یا کمتر از افزایش مقدار x است. نسبت این افزایش ها به صورت dy/dx و مشتق آن به صورت f(x) توصیف می شود.
کمی تاریخچه
استفاده از مشتقات در ریاضیات در قرن پانزدهم آغاز شد - برای تعیین وابستگی برد پرتابه ها به شیب تفنگ ها. اولین کسی که از این تکنیک استفاده کرد، ریاضیدان ایتالیایی نیکلو فونتانا تارتالیا بود.
و در قرن هفدهم، برادران برنولی از سوئیس شروع به مطالعه جدی مشتقات کردند. برادر کوچکتر، یوهان برنولی، برای اولین بار یک ارائه سیستماتیک از حساب دیفرانسیل را منتشر کرد که مبنایی برای "تحلیل بی نهایت کوچک" در سال 1687 شد. تا سال 1742، دانشمند همچنین توسعه دوره ای در مورد حساب انتگرال را تکمیل کرد و روش های جدیدی را برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی پیشنهاد کرد.
برادر بزرگتر یوهان، یعقوب برنولی، از مشتق برای یافتن انحنای یک خط منحنی مسطح استفاده کرد و همچنین از آن برای مطالعه مارپیچ لگاریتمی استفاده کرد. این ژاکوب برنولی نویسنده نام "انتگرال" بود که در واقع مخالف دیفرانسیل است.
برادران برنولی در آغاز قرنهای هفدهم تا هجدهم سهم بزرگی در مطالعه مشتقات داشتند و اساس محاسبات ریاضی تغییرات را پایهگذاری کردند.
در دوره از قرن 17 تا 19 در اروپا، دانشمندان برجسته دیگری نیز در مطالعه مشتقات شرکت داشتند: لایبنیتس، نیوتن، لاگرانژ، ژاکوبی، وایرشتراس، لژاندر. به عنوان مثال، نماد مدرن برای یک دیفرانسیل - d(x) - توسط گوتفرید ویلهلم لایبنیتس، و نماد برای یک مشتق با علامت اول - f'(x) - توسط جوزف لوئیس لاگرانژ معرفی شد.
اصطلاح مشتق برای اولین بار توسط لاگرانژ در سال 1797 استفاده شد. این کلمه ترجمهای از مشتق فرانسوی است که از مشتق - «مشتق» گرفته شده است.
بعداً، بسیاری از ریاضیدانان اروپایی از نماد معرفی شده در فرانسه استفاده کردند، و نماد "دلتا" (∇) تنها در سال 1853 ظاهر شد، به لطف ریاضیدان ایرلندی ویلیام روآن همیلتون.
قیاس ترن هوایی
برای سهولت در درک توابع و یافتن مشتقات آنها، می توانید از یک تشبیه ساده با جاذبه معروف جهان استفاده کنید - ترن هوایی. اگر از کنار به آنها نگاه کنید، می توانید حتی با چشم، بدون محاسبات پیچیده، ویژگی های اصلی حرکت چرخ دستی را تعیین کنید: در چه مناطقی بالا می رود / پایین می آید، کجا شتاب / کند می شود، چند بار از مرزهای بین صعود/فرود عبور خواهد کرد.
عملکرد نشان داده شده در هواپیما را می توان دقیقاً به همین شکل توصیف کرد. در مناطق مختلف به روش های مختلف افزایش و کاهش خواهد یافت - این فرآیند را می توان با استفاده از یک مشتق توصیف و تعیین کرد. برای این کار تعاریف زیر را معرفی می کنیم:
- افزایش تابع تفاوت بین مقادیر در محور y است.
- افزایش آرگومان تفاوت بین مقادیر در محور x است.
- نرخ تغییر یک تابع، نسبت افزایش آن به افزایش آرگومان است: dy/dx.
هرچه افزایش آرگومان x کوچکتر باشد، دقت محاسبات بالاتر است. بالاترین دقت زمانی حاصل می شود که افزایش آرگومان به صفر میل کند. در این مورد، یافتن مشتقات به تعدادی محاسبات با گرایش به بی نهایت نیاز دارد (برای دقت/تعدیل تنظیم شده است).
اگر این کار برای شخصی بسیار دشوار است، یک رایانه مدرن می تواند آن را در چند ثانیه انجام دهد. کافی است از یک برنامه آنلاین ویژه استفاده کنید که مشتق یک تابع را با استفاده از داده های وارد شده پیدا کند، حتی اگر آنها در فرمول های پیچیده با سینوس، کسینوس، ریشه و توان گنجانده شوند.