Tuletis kalkulaator
Matemaatilises analüüsis ja füüsikas kasutatakse tuletist laialdaselt, kirjeldades keerulisi funktsioone ja muutujaid. Viimased võivad hõlmata elektrilist pinget, keemilisi reaktsioone ja liikumiskiirust.
See tähendab mis tahes suurust, mida on raske või võimatu kirjeldada konstantse väärtusena. Näiteks liikuva auto kiirus, mis sõidu ajal mitu korda kiirendab ja aeglustab. Funktsiooni matemaatiline tuletis on mõeldud selliste suuruste kirjeldamiseks, süstematiseerimiseks ja analüüsimiseks.
Funktsiooni tuletis
Ametliku definitsiooni kohaselt on tuletis funktsiooni juurdekasvu ja selle argumendi juurdekasvu suhte piir, kui viimane kaldub nulli. Tuletise arvutamise protsessi nimetatakse diferentseerimiseks. Ja funktsiooni nimetatakse diferentseeruvaks ainult siis, kui sellel on lõplik tuletis.
Funktsiooni võib kirjeldada kui ühe suuruse sõltuvust teisest ja kujutada koordinaattasandil joonena. Selle eristamiseks toimige järgmiselt.
- Võtke x-teljel x väärtus.
- Asendage valitud x väärtus valemiga y = f(x).
- Hangi punkti koordinaadid vormingus x, y.
- Ehitage punkt koordinaatidega x, y.
- Korrame seda protseduuri, asendades kõik muud x väärtused.
Tuletis näitab, mitu korda on y väärtuse juurdekasv suurem või väiksem kui x väärtuse juurdekasv. Nende juurdekasvu suhet kirjeldatakse kui dy/dx ja tuletist kui f(x).
Natuke ajalugu
Tuletisi hakati matemaatikas kasutama juba 15. sajandil – selleks, et määrata kindlaks mürskude lennukauguse sõltuvus relvade kaldest. Esimesena kasutas seda tehnikat itaalia matemaatik Niccolo Fontana Tartaglia.
Ja 17. sajandil hakkasid Šveitsist pärit vennad Bernoullid tuletisinstrumente tõsiselt uurima. Noorem vend Johann Bernoulli avaldas esmakordselt diferentsiaalarvutuse süstemaatilise esitluse, mis sai 1687. aastal "Infinitesimal Analysis" aluseks. 1742. aastaks lõpetas teadlane ka integraalarvutuse kursuse väljatöötamise ja pakkus välja uued meetodid tavaliste diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks.
Johanni vanem vend Jacob Bernoulli kasutas tuletist lameda kõverjoone kõveruse leidmiseks ja kasutas seda ka logaritmilise spiraali uurimiseks. Just Jacob Bernoulli oli nime “integraal” autor, mis tegelikult on diferentsiaali vastand.
Vennad Bernoullid andsid 17.–18. sajandi vahetusel suure panuse tuletiste uurimisse ja panid aluse matemaatilisele variatsiooniarvutamisele.
Ajavahemikul 17.–19. sajandil Euroopas tegelesid derivaatide uurimisega ka teised väljapaistvad teadlased: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Näiteks diferentsiaali tänapäevase tähise – d(x) – võttis kasutusele Gottfried Wilhelm Leibniz ja algarvuga tuletise – f'(x) – tähise Joseph Louis Lagrange.
Lagrange kasutas terminit „tuletis” esmakordselt 1797. aastal. See sõna on tõlge prantsuskeelsest tuletatud sõnast, mis pärineb sõnast tuletatud – „tuletatud”.
Hiljem kasutasid paljud Euroopa matemaatikud Prantsusmaal kasutusele võetud tähistust ja tähistus "delta" (∇) ilmus alles 1853. aastal tänu Iiri matemaatikule William Rowan Hamiltonile.
Vuoristorata analoogia
Funktsioonide mõistmise ja nende tuletiste leidmise hõlbustamiseks võite kasutada lihtsat analoogiat maailmakuulsa atraktsiooni – rullnokaga. Kui vaatate neid kõrvalt, saate isegi silma järgi, ilma keerukate arvutusteta kindlaks teha käru liikumise põhijooned: millistes piirkondades see tõuseb / laskub, kus see kiirendab / aeglustub, mitu korda see ületab piire tõusude/laskumiste vahel.
Tasapinnal kujutatud funktsiooni saab kirjeldada täpselt samamoodi. Erinevates piirkondades see suureneb ja väheneb erineval viisil – seda protsessi saab kirjeldada ja määrata tuletise abil. Selleks tutvustame järgmisi mõisteid:
- Funktsiooni juurdekasv on erinevus y-teljel olevate väärtuste vahel.
- Argumendi juurdekasv on erinevus x-teljel olevate väärtuste vahel.
- Funktsiooni muutumise kiirus on selle juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhe: dy/dx.
Mida väiksem on argumendi x juurdekasv, seda suurem on arvutuste täpsus. Suurim täpsus saavutatakse siis, kui argumendi juurdekasv kipub olema null. Sel juhul nõuab tuletiste leidmine mitmeid arvutusi, mis ulatuvad lõpmatuseni (kohandatud täpsuse/gradatsiooni järgi).
Kui see ülesanne on inimese jaoks liiga raske, saab kaasaegne arvuti sellega hakkama sekundi murdosaga. Piisab kasutada spetsiaalset veebirakendust, mis leiab sisestatud andmete põhjal funktsiooni tuletise, isegi kui need sisalduvad siinuste, koosinuste, juurte ja eksponentide kompleksis.
