Calculadora de derivadas
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En análisis matemático y física, la derivada se usa ampliamente y describe funciones y variables complejas. Estos últimos pueden incluir voltaje eléctrico, reacciones químicas y velocidad de movimiento.
Es decir, cualquier cantidad que sea difícil o imposible de describir como un valor constante. Por ejemplo, la velocidad de un automóvil en movimiento que acelera y desacelera muchas veces mientras conduce. La derivada matemática de una función tiene como objetivo describir, sistematizar y analizar dichas cantidades.
Derivada de una función
Según la definición oficial, la derivada es el límite de la relación entre el incremento de una función y el incremento de su argumento cuando este último tiende a cero. El proceso de calcular la derivada se llama diferenciación. Y una función se llama diferenciable sólo si tiene una derivada finita.
Una función puede describirse como la dependencia de una cantidad de otra y representarse en el plano de coordenadas como una línea. Para diferenciarlo:
- Toma el valor de x en el eje x.
- Sustituya el valor x seleccionado en la fórmula y = f(x).
- Obtén las coordenadas del punto en formato x, y.
- Construye un punto con coordenadas x, y.
- Repetimos este procedimiento, sustituyendo todos los demás valores de x.
La derivada mostrará cuántas veces el incremento en el valor de y es mayor o menor que el incremento en el valor de x. La relación de estos incrementos se describe como dy/dx y la derivada como f(x).
Un poco de historia
Los derivados comenzaron a usarse en matemáticas en el siglo XV, para determinar la dependencia del alcance de vuelo de los proyectiles de la inclinación de las armas. El primero en utilizar esta técnica fue el matemático italiano Niccolo Fontana Tartaglia.
Y en el siglo XVII, los hermanos Bernoulli de Suiza comenzaron a estudiar los derivados en serio. El hermano menor, Johann Bernoulli, publicó por primera vez una presentación sistemática del cálculo diferencial, que se convirtió en la base del "Análisis Infinitesimal" en 1687. En 1742, el científico también completó el desarrollo de un curso sobre cálculo integral y propuso nuevos métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.
El hermano mayor de Johann, Jacob Bernoulli, utilizó la derivada para encontrar la curvatura de una línea curva plana y también la utilizó para estudiar la espiral logarítmica. Fue Jacob Bernoulli quien fue el autor del nombre “integral”, que, de hecho, es lo opuesto a diferencial.
Los hermanos Bernoulli a principios de los siglos XVII y XVIII hicieron una gran contribución al estudio de las derivadas y sentaron las bases para el cálculo matemático de variaciones.
En el período comprendido entre los siglos XVII y XIX en Europa, otros científicos eminentes también participaron en el estudio de los derivados: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Por ejemplo, la notación moderna para una derivada - d(x) - fue introducida por Gottfried Wilhelm Leibniz, y la notación para una derivada con un número primo - f'(x) - por Joseph Louis Lagrange.
El término “derivado” fue utilizado por primera vez por Lagrange en 1797. Esta palabra es una traducción del francés deriva, que proviene de derivar - "derivado".
Posteriormente, muchos matemáticos europeos utilizaron la notación introducida en Francia, y la notación “delta” (∇) apareció recién en 1853, gracias al matemático irlandés William Rowan Hamilton.
Analogía de la montaña rusa
Para que sea más fácil comprender las funciones y encontrar sus derivadas, puedes utilizar una analogía simple con la atracción mundialmente famosa: una montaña rusa. Si los miras de lado, puedes incluso a simple vista, sin cálculos complejos, determinar las principales características del movimiento del carro: en qué zonas subirá/descenderá, dónde acelerará/desacelerará, cuántas veces cruzará los límites entre ascensos/descensos.
La función representada en el avión se puede describir exactamente de la misma manera. En diferentes áreas aumentará y disminuirá de diferentes maneras; este proceso se puede describir y determinar mediante una derivada. Para ello, introducimos las siguientes definiciones:
- El incremento de función es la diferencia entre los valores en el eje y.
- El incremento del argumento es la diferencia entre los valores en el eje x.
- La tasa de cambio de una función es la relación entre su incremento y el incremento del argumento: dy/dx.
Cuanto menor sea el incremento del argumento x, mayor será la precisión de los cálculos. La mayor precisión se logra cuando el incremento del argumento tiende a cero. En este caso, encontrar derivadas requerirá una cantidad de cálculos que tiendan al infinito (ajustados para precisión/gradación).
Si esta tarea es demasiado difícil para una persona, entonces una computadora moderna puede realizarla en una fracción de segundo. Basta con utilizar una aplicación especial en línea que encontrará la derivada de una función utilizando los datos ingresados, incluso si están incluidos en fórmulas complejas con senos, cosenos, raíces y exponentes.