Afledt lommeregner
![Afledt lommeregner](/media/images/derivative_calculator.webp)
I matematisk analyse og fysik er den afledte meget brugt, der beskriver komplekse funktioner og variabler. Sidstnævnte kan omfatte elektrisk spænding, kemiske reaktioner og bevægelseshastighed.
Det vil sige enhver størrelse, der er svær eller umulig at beskrive som en konstant værdi. For eksempel hastigheden af en kørende bil, der accelererer og decelererer mange gange under kørsel. Den matematiske afledte af en funktion er beregnet til at beskrive, systematisere og analysere sådanne størrelser.
Afledt af en funktion
Ifølge den officielle definition er den afledede grænsen for forholdet mellem stigningen af en funktion og stigningen af dens argument, når sidstnævnte har en tendens til nul. Processen med at beregne den afledte kaldes differentiering. Og en funktion kaldes kun differentierbar, hvis den har en endelig afledt.
En funktion kan beskrives som en størrelses afhængighed af en anden og afbildes i koordinatplanet som en linje. For at skelne det:
- Tag x-værdien på x-aksen.
- Sæt den valgte x-værdi ind i formlen y = f(x).
- Få koordinaterne for punktet i x, y-format.
- Konstruer et punkt med koordinaterne x, y.
- Vi gentager denne procedure og erstatter alle andre x-værdier.
Den afledte vil vise, hvor mange gange stigningen i y-værdien er større eller mindre end stigningen i x-værdien. Forholdet mellem disse trin beskrives som dy/dx, og den afledede som f(x).
Lidt historie
Derivater begyndte at blive brugt i matematik tilbage i det 15. århundrede - for at bestemme afhængigheden af projektilers flyverækkevidde af kanoners hældning. Den første til at bruge denne teknik var den italienske matematiker Niccolo Fontana Tartaglia.
Og i det 17. århundrede begyndte Bernoulli-brødrene fra Schweiz for alvor at studere derivater. Den yngre bror, Johann Bernoulli, udgav først en systematisk præsentation af differentialregning, som blev grundlaget for "Infinitesimal Analyse" i 1687. I 1742 afsluttede videnskabsmanden også udviklingen af et kursus om integralregning og foreslog nye metoder til løsning af almindelige differentialligninger.
Johanns ældre bror, Jacob Bernoulli, brugte derivatet til at finde krumningen af en flad buet linje og brugte den også til at studere den logaritmiske spiral. Det var Jacob Bernoulli, der var forfatteren til navnet "integral", som faktisk er det modsatte af en differential.
Bernoulli-brødrene ved begyndelsen af det 17.-18. århundrede ydede et stort bidrag til studiet af derivater og lagde grundlaget for den matematiske variationsregning.
I perioden fra det 17. til det 19. århundrede i Europa var andre fremtrædende videnskabsmænd også involveret i studiet af derivater: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. For eksempel blev den moderne notation for en differential - d(x) - introduceret af Gottfried Wilhelm Leibniz, og notationen for en afledt med et primtal - f'(x) - af Joseph Louis Lagrange.
Udtrykket "derivat" selv blev først brugt af Lagrange i 1797. Dette ord er en oversættelse af det franske derivee, som kommer fra derive - "afledt."
Efterfølgende brugte mange europæiske matematikere den notation, der blev introduceret i Frankrig, og notationen "delta" (∇) dukkede først op i 1853, takket være den irske matematiker William Rowan Hamilton.
Analogi af rutsjebane
For at gøre det nemmere at forstå funktioner og finde deres derivater, kan du bruge en simpel analogi med den verdensberømte attraktion - en rutsjebane. Hvis du ser på dem fra siden, kan du endda med øjet, uden komplekse beregninger, bestemme hovedtrækkene i vognens bevægelse: i hvilke områder vil den stige/ned, hvor den vil accelerere/sænke farten, hvor mange gange det vil krydse grænserne mellem op-/nedstigninger.
Funktionen afbildet på flyet kan beskrives på nøjagtig samme måde. På forskellige områder vil det stige og falde på forskellige måder - denne proces kan beskrives og bestemmes ved hjælp af en derivat. For at gøre dette introducerer vi følgende definitioner:
- Funktionsstigning er forskellen mellem værdierne på y-aksen.
- Argumenttilvæksten er forskellen mellem værdierne på x-aksen.
- Ændringshastigheden for en funktion er forholdet mellem dens stigning og stigningen i argumentet: dy/dx.
Jo mindre stigningen af argumentet x er, jo højere er nøjagtigheden af beregningerne. Den højeste nøjagtighed opnås, når stigningen af argumentet har en tendens til nul. I dette tilfælde vil det at finde derivater kræve en række beregninger, der har tendens til uendelig (justeret for nøjagtighed/gradation).
Hvis denne opgave er for svær for en person, så kan en moderne computer klare det på et splitsekund. Det er nok at bruge en speciel onlineapplikation, der vil finde den afledede af en funktion ved hjælp af de indtastede data, selvom de er inkluderet i komplekse formler med sinus, cosinus, rødder og eksponenter.