Calculadora de derivades
![Calculadora de derivades](/media/images/derivative_calculator.webp)
En l'anàlisi matemàtica i la física, la derivada s'utilitza àmpliament, descrivint funcions i variables complexes. Aquests últims poden incloure voltatge elèctric, reaccions químiques i velocitat de moviment.
És a dir, qualsevol quantitat que sigui difícil o impossible de descriure com a valor constant. Per exemple, la velocitat d'un cotxe en moviment que accelera i desaccelera moltes vegades mentre condueix. La derivada matemàtica d'una funció pretén descriure, sistematitzar i analitzar aquestes magnituds.
Derivada d'una funció
Segons la definició oficial, la derivada és el límit de la relació entre l'increment d'una funció i l'increment del seu argument quan aquest tendeix a zero. El procés de càlcul de la derivada s'anomena diferenciació. I una funció s'anomena derivable només si té una derivada finita.
Una funció es pot descriure com la dependència d'una quantitat sobre una altra i representada en el pla de coordenades com una línia. Per diferenciar-lo:
- Agafeu el valor x a l'eix x.
- Substituïu el valor x seleccionat a la fórmula y = f(x).
- Obtén les coordenades del punt en format x, y.
- Construeix un punt amb les coordenades x, y.
- Repetim aquest procediment, substituint tots els altres valors de x.
La derivada mostrarà quantes vegades l'increment del valor y és més gran o menor que l'increment del valor x. La relació d'aquests increments es descriu com a dy/dx, i la derivada com a f(x).
Una mica d'història
Els derivats es van començar a utilitzar en matemàtiques al segle XV, per determinar la dependència del rang de vol dels projectils de la inclinació dels canons. El primer a utilitzar aquesta tècnica va ser el matemàtic italià Niccolo Fontana Tartaglia.
I al segle XVII, els germans Bernoulli de Suïssa van començar a estudiar de debò els derivats. El germà petit, Johann Bernoulli, va publicar per primera vegada una presentació sistemàtica del càlcul diferencial, que es va convertir en la base de l'"Anàlisi infinitesimal" el 1687. El 1742, el científic també va completar el desenvolupament d'un curs sobre càlcul integral i va proposar nous mètodes per resoldre equacions diferencials ordinàries.
El germà gran de Johann, Jacob Bernoulli, va utilitzar la derivada per trobar la curvatura d'una línia corba plana i també la va utilitzar per estudiar l'espiral logarítmica. Va ser Jacob Bernoulli qui va ser l'autor del nom "integral", que, de fet, és el contrari d'un diferencial.
Els germans Bernoulli al tombant dels segles XVII-XVIII van fer una gran contribució a l'estudi de les derivades i van establir les bases per al càlcul matemàtic de variacions.
En el període dels segles XVII al XIX a Europa, altres científics eminents també van participar en l'estudi dels derivats: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Per exemple, la notació moderna per a un diferencial - d(x) - va ser introduïda per Gottfried Wilhelm Leibniz, i la notació per a una derivada amb un primer - f'(x) - per Joseph Louis Lagrange.
El terme "derivat" en si va ser utilitzat per primera vegada per Lagrange el 1797. Aquesta paraula és una traducció del francès derive, que prové de deriva - "derivat".
Després, molts matemàtics europeus van utilitzar la notació introduïda a França, i la notació "delta" (∇) va aparèixer només el 1853, gràcies al matemàtic irlandès William Rowan Hamilton.
Analogia de la muntanya russa
Per facilitar la comprensió de les funcions i trobar els seus derivats, podeu fer servir una analogia senzilla amb l'atracció mundialment famosa: una muntanya russa. Si els mireu de costat, fins i tot podeu determinar a ull, sense càlculs complexos, les característiques principals del moviment del carro: en quines zones pujarà/baixarà, on s'accelerarà/alentirà, quantes vegades travessarà els límits entre pujades/baixades.
La funció representada a l'avió es pot descriure exactament de la mateixa manera. En diferents àrees augmentarà i disminuirà de diferents maneres; aquest procés es pot descriure i determinar mitjançant una derivada. Per fer-ho, introduïm les definicions següents:
- L'increment de la funció és la diferència entre els valors de l'eix Y.
- L'increment de l'argument és la diferència entre els valors de l'eix x.
- La taxa de canvi d'una funció és la relació entre el seu increment i l'increment de l'argument: dy/dx.
Com més petit sigui l'increment de l'argument x, més alta serà la precisió dels càlculs. La precisió més alta s'aconsegueix quan l'increment de l'argument tendeix a zero. En aquest cas, trobar derivades requerirà una sèrie de càlculs que tendeixen a l'infinit (ajustats per precisió/gradació).
Si aquesta tasca és massa difícil per a una persona, un ordinador modern pot gestionar-la en una fracció de segon. N'hi ha prou amb utilitzar una aplicació especial en línia que trobarà la derivada d'una funció utilitzant les dades introduïdes, encara que s'incloguin en fórmules complexes amb sinus, coseus, arrels i exponents.