ডেরিভেটিভ ক্যালকুলেটর

গাণিতিক বিশ্লেষণ এবং পদার্থবিদ্যায়, ডেরিভেটিভ ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, জটিল ফাংশন এবং ভেরিয়েবলের বর্ণনা দেয়। পরেরটির মধ্যে বৈদ্যুতিক ভোল্টেজ, রাসায়নিক বিক্রিয়া এবং চলাচলের গতি অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে।

অর্থাৎ, ধ্রুবক মান হিসাবে বর্ণনা করা কঠিন বা অসম্ভব যেকোনো পরিমাণ। উদাহরণস্বরূপ, একটি চলন্ত গাড়ির গতি যা গাড়ি চালানোর সময় অনেকবার ত্বরান্বিত এবং হ্রাস পায়। একটি ফাংশনের গাণিতিক ডেরিভেটিভ এই ধরনের পরিমাণগুলিকে বর্ণনা, পদ্ধতিগত এবং বিশ্লেষণ করার উদ্দেশ্যে।

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ

অফিসিয়াল সংজ্ঞা অনুসারে, ডেরিভেটিভ হল একটি ফাংশনের বৃদ্ধির অনুপাতের সীমা এবং তার আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির অনুপাত যখন পরবর্তীটি শূন্যের দিকে থাকে। ডেরিভেটিভ গণনা করার প্রক্রিয়াটিকে ডিফারেন্সিয়েশন বলা হয়। এবং একটি ফাংশনকে ডিফারেনশিয়াবল বলা হয় যদি এর একটি সীমাবদ্ধ ডেরিভেটিভ থাকে।

একটি ফাংশনকে একটি রাশির উপর একটি রাশির নির্ভরতা হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে এবং একটি রেখা হিসাবে স্থানাঙ্ক সমতলে চিত্রিত করা যেতে পারে। এটিকে আলাদা করতে:

• x-অক্ষে x মান নিন।
• নির্বাচিত x মানটিকে y = f(x) সূত্রে প্রতিস্থাপন করুন।
• বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি x, y বিন্যাসে পান।
• স্থানাঙ্ক x, y দিয়ে একটি বিন্দু তৈরি করুন।
• আমরা এই পদ্ধতিটি পুনরাবৃত্তি করি, অন্য সমস্ত x মান প্রতিস্থাপন করি।

ডেরিভেটিভ দেখাবে যে y মানের বৃদ্ধি x মানের বৃদ্ধির চেয়ে কত গুণ বেশি বা কম। এই বৃদ্ধির অনুপাতকে dy/dx হিসাবে বর্ণনা করা হয়েছে এবং ডেরিভেটিভকে f(x) হিসাবে বর্ণনা করা হয়েছে।

একটু ইতিহাস

ডেরিভেটিভগুলি 15 শতকে গণিতে ব্যবহার করা শুরু হয়েছিল - বন্দুকের ঝোঁকের উপর প্রজেক্টাইলের ফ্লাইট রেঞ্জের নির্ভরতা নির্ধারণ করতে। এই কৌশলটি সর্বপ্রথম ব্যবহার করেন ইতালীয় গণিতবিদ নিকোলো ফন্টানা টারটাগলিয়া।

এবং 17 শতকে, সুইজারল্যান্ডের বার্নোলি ভাইরা আন্তরিকভাবে ডেরিভেটিভগুলি অধ্যয়ন করতে শুরু করেছিলেন। ছোট ভাই, জোহান বার্নোলি, প্রথম ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের একটি পদ্ধতিগত উপস্থাপনা প্রকাশ করেন, যা 1687 সালে "অসীম বিশ্লেষণ" এর ভিত্তি হয়ে ওঠে। 1742 সাল নাগাদ, বিজ্ঞানী ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের উপর একটি কোর্সের বিকাশও সম্পন্ন করেন এবং সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের জন্য নতুন পদ্ধতির প্রস্তাব করেন।

জোহানের বড় ভাই, জ্যাকব বার্নোলি, একটি সমতল বাঁকা রেখার বক্রতা খুঁজে বের করতে ডেরিভেটিভ ব্যবহার করেছিলেন এবং লগারিদমিক সর্পিল অধ্যয়নের জন্যও এটি ব্যবহার করেছিলেন। এটি ছিল জ্যাকব বার্নোলি যিনি "অখণ্ড" নামের লেখক ছিলেন, যা আসলে একটি ডিফারেনশিয়ালের বিপরীত।

17-18 শতকের শুরুতে বার্নোলি ভাইরা ডেরিভেটিভের অধ্যয়নে বিশাল অবদান রেখেছিলেন এবং বৈচিত্রের গাণিতিক ক্যালকুলাসের ভিত্তি স্থাপন করেছিলেন।

ইউরোপে 17 থেকে 19 শতকের সময়কালে, অন্যান্য বিশিষ্ট বিজ্ঞানীরাও ডেরিভেটিভের গবেষণায় জড়িত ছিলেন: লাইবনিজ, নিউটন, ল্যাগ্রেঞ্জ, জ্যাকবি, উইয়েরস্ট্রাস, কিংবদন্তি। উদাহরণস্বরূপ, একটি ডিফারেনশিয়ালের জন্য আধুনিক স্বরলিপি - d(x) - গটফ্রিড উইলহেম লাইবনিজ দ্বারা প্রবর্তন করা হয়েছিল, এবং একটি প্রাইম - f'(x) - জোসেফ লুই ল্যাগ্রেঞ্জ দ্বারা একটি ডেরিভেটিভের জন্য স্বরলিপি প্রবর্তন করেছিলেন৷

"ডেরিভেটিভ" শব্দটি নিজেই প্রথম ল্যাগ্রেঞ্জ 1797 সালে ব্যবহার করেছিলেন। এই শব্দটি ফরাসি derivee-এর একটি অনুবাদ, যা derive থেকে এসেছে - "উত্পন্ন।"

পরবর্তীকালে, অনেক ইউরোপীয় গণিতবিদ ফ্রান্সে প্রবর্তিত স্বরলিপি ব্যবহার করেছিলেন এবং স্বরলিপি "ডেল্টা" (∇) শুধুমাত্র 1853 সালে আবির্ভূত হয়েছিল, আইরিশ গণিতবিদ উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিলটনকে ধন্যবাদ।

রোলার কোস্টার সাদৃশ্য

ফাংশনগুলি বুঝতে এবং তাদের ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাওয়া সহজ করতে, আপনি বিশ্ব-বিখ্যাত আকর্ষণের সাথে একটি সাধারণ সাদৃশ্য ব্যবহার করতে পারেন - একটি রোলার কোস্টার৷ আপনি যদি এগুলিকে পাশ থেকে দেখেন তবে আপনি জটিল গণনা ছাড়াই চোখের দ্বারাও ট্রলির চলাচলের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ধারণ করতে পারেন: কোন অঞ্চলে এটি উঠবে/নামাবে, কোথায় এটি ত্বরান্বিত/মন্থর হবে, কতবার এটি আরোহন/অবরোহণের মধ্যে সীমানা অতিক্রম করবে।

বিমানে চিত্রিত ফাংশনটি ঠিক একইভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে। বিভিন্ন ক্ষেত্রে এটি বিভিন্ন উপায়ে বাড়বে এবং হ্রাস পাবে - এই প্রক্রিয়াটি একটি ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে বর্ণনা এবং নির্ধারণ করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, আমরা নিম্নলিখিত সংজ্ঞা উপস্থাপন করি:

• ফাংশন বৃদ্ধি হল y-অক্ষের মানগুলির মধ্যে পার্থক্য।
• আর্গুমেন্ট ইনক্রিমেন্ট হল x-অক্ষের মানগুলির মধ্যে পার্থক্য।
• ফাংশনের পরিবর্তনের হার হল আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির সাথে এর বৃদ্ধির অনুপাত: dy/dx।

অর্গুমেন্ট x এর ইনক্রিমেন্ট যত কম হবে, গণনার নির্ভুলতা তত বেশি হবে। আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি শূন্য হলে সর্বোচ্চ নির্ভুলতা অর্জন করা হয়। এই ক্ষেত্রে, ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করার জন্য অসীমতার দিকে ঝুঁকতে অনেকগুলি গণনার প্রয়োজন হবে (নির্ভুলতা/গ্রেডেশনের জন্য সামঞ্জস্য)।

যদি এই কাজটি একজন ব্যক্তির পক্ষে খুব কঠিন হয়, তাহলে একটি আধুনিক কম্পিউটার এটি একটি বিভক্ত সেকেন্ডে পরিচালনা করতে পারে। এটি একটি বিশেষ অনলাইন অ্যাপ্লিকেশন ব্যবহার করা যথেষ্ট যা প্রবেশ করা ডেটা ব্যবহার করে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে পাবে, এমনকি যদি সেগুলি সাইন, কোসাইন, মূল এবং সূচক সহ জটিল সূত্রগুলিতে অন্তর্ভুক্ত করা হয়৷