Калкулатор за производни
![Калкулатор за производни](/media/images/derivative_calculator.webp)
В математическия анализ и физиката производната се използва широко, описвайки сложни функции и променливи. Последните могат да включват електрическо напрежение, химически реакции и скорост на движение.
Тоест всяко количество, което е трудно или невъзможно да се опише като постоянна стойност. Например скоростта на движеща се кола, която ускорява и забавя многократно по време на движение. Математическата производна на функция има за цел да опише, систематизира и анализира такива величини.
Производна на функция
Според официалната дефиниция, производната е границата на съотношението на нарастването на функция към нарастването на нейния аргумент, когато последният клони към нула. Процесът на изчисляване на производната се нарича диференциране. И една функция се нарича диференцируема само ако има крайна производна.
Една функция може да бъде описана като зависимост на една величина от друга и изобразена в координатната равнина като линия. За да го разграничите:
- Вземете стойността x на оста x.
- Заместете избраната стойност x във формулата y = f(x).
- Вземете координатите на точката във формат x, y.
- Построете точка с координати x, y.
- Повтаряме тази процедура, като заместваме всички останали x стойности.
Производната ще покаже колко пъти нарастването на стойността y е по-голямо или по-малко от увеличението на стойността x. Съотношението на тези увеличения се описва като dy/dx, а производната като f(x).
Малко история
Производните започват да се използват в математиката още през 15 век - за определяне на зависимостта на обхвата на полета на снарядите от наклона на оръдията. Първият, който използва тази техника, е италианският математик Николо Фонтана Тарталия.
И през 17-ти век братята Бернули от Швейцария започват сериозно да изучават производните. По-малкият брат, Йохан Бернули, за първи път публикува систематично представяне на диференциалното смятане, което стана основа за „Безкрайно малък анализ“ през 1687 г. До 1742 г. ученият завършва и разработването на курс по интегрално смятане и предлага нови методи за решаване на обикновени диференциални уравнения.
По-големият брат на Йохан, Якоб Бернули, използва производната, за да намери кривината на плоска крива линия, а също така я използва, за да изследва логаритмичната спирала. Яков Бернули е авторът на името „интеграл“, което всъщност е обратното на диференциал.
Братята Бернули в началото на 17-ти и 18-ти век имат огромен принос в изучаването на производните и полагат основите на вариационното математическо смятане.
В периода от 17-ти до 19-ти век в Европа други изтъкнати учени също се занимават с изследване на производните: Лайбниц, Нютон, Лагранж, Якоби, Вайерщрас, Лежандр. Например съвременната нотация за диференциал - d(x) - е въведена от Готфрид Вилхелм Лайбниц, а нотацията за производна с просто число - f'(x) - от Джоузеф Луис Лагранж.
Самият термин „дериват“ е използван за първи път от Лагранж през 1797 г. Тази дума е превод на френската derivee, която идва от derive - „изведен“.
Впоследствие много европейски математици използват нотацията, въведена във Франция, а нотацията „делта“ (∇) се появява едва през 1853 г., благодарение на ирландския математик Уилям Роуън Хамилтън.
Аналогия с влакче в увеселителен парк
За да улесните разбирането на функциите и намирането на техните производни, можете да използвате проста аналогия със световноизвестната атракция - влакче в увеселителен парк. Ако ги погледнете отстрани, можете дори на око, без сложни изчисления, да определите основните характеристики на движението на количката: в какви области ще се издига/спуска, къде ще ускорява/забавя, колко пъти ще пресече границите между изкачвания/слизания.
Функцията, изобразена на равнината, може да бъде описана по абсолютно същия начин. В различни области ще се увеличава и намалява по различни начини - този процес може да бъде описан и определен с помощта на производна. За да направим това, въвеждаме следните дефиниции:
- Увеличението на функцията е разликата между стойностите по оста y.
- Увеличението на аргумента е разликата между стойностите по оста x.
- Скоростта на промяна на функция е съотношението на нейното нарастване към нарастването на аргумента: dy/dx.
Колкото по-малко е увеличението на аргумента x, толкова по-висока е точността на изчисленията. Най-висока точност се постига, когато нарастването на аргумента клони към нула. В този случай намирането на производни ще изисква редица изчисления, клонящи към безкрайност (коригирани за точност/градация).
Ако тази задача е твърде трудна за човек, тогава модерен компютър може да се справи с нея за част от секундата. Достатъчно е да използвате специално онлайн приложение, което ще намери производната на функция, използвайки въведените данни, дори ако те са включени в сложни формули със синуси, косинуси, корени и експоненти.