Törəmə kalkulyatoru
![Törəmə kalkulyatoru](/media/images/derivative_calculator.webp)
Riyazi analiz və fizikada törəmə mürəkkəb funksiyaları və dəyişənləri təsvir edən geniş istifadə olunur. Sonunculara elektrik gərginliyi, kimyəvi reaksiyalar və hərəkət sürəti daxil ola bilər.
Yəni sabit dəyər kimi təsvir etmək çətin və ya qeyri-mümkün olan istənilən kəmiyyət. Məsələn, hərəkət edən avtomobilin sürərkən dəfələrlə sürətləndirən və yavaşlayan sürəti. Funksiyanın riyazi törəməsi belə kəmiyyətləri təsvir etmək, sistemləşdirmək və təhlil etmək üçün nəzərdə tutulub.
Funksiyanın törəməsi
Rəsmi tərifə görə, törəmə funksiyanın artımının onun arqumentinin artımına nisbətinin sonuncu sıfıra meyl etdiyi zaman həddidir. Törəmənin hesablanması prosesinə diferensiallaşma deyilir. Və funksiya yalnız sonlu törəməsi olduqda diferensiallanan adlanır.
Funksiya bir kəmiyyətin digərindən asılılığı kimi təsvir edilə və koordinat müstəvisində xətt kimi təsvir edilə bilər. Onu fərqləndirmək üçün:
- X oxundakı x dəyərini götürün.
- Seçilmiş x dəyərini y = f(x) düsturu ilə əvəz edin.
- Nöqtənin koordinatlarını x, y formatında əldə edin.
- X, y koordinatları olan nöqtə qurun.
- Biz bütün digər x dəyərlərini əvəz edərək bu proseduru təkrarlayırıq.
Törəmə y dəyərindəki artımın x dəyərindəki artımdan neçə dəfə böyük və ya az olduğunu göstərəcək. Bu artımların nisbəti dy/dx, törəmə isə f(x) kimi təsvir olunur.
Bir az tarix
Törəmələr riyaziyyatda hələ 15-ci əsrdə - mərmilərin uçuş məsafəsinin silahların meylindən asılılığını müəyyən etmək üçün istifadə olunmağa başladı. Bu texnikadan ilk istifadə edən italyan riyaziyyatçısı Nikkolo Fontana Tartaglia olmuşdur.
Və 17-ci əsrdə İsveçrədən olan Bernoulli qardaşları ciddi şəkildə törəmələri öyrənməyə başladılar. Kiçik qardaş Johann Bernoulli ilk dəfə 1687-ci ildə "Sonsuz kiçik analiz" üçün əsas olan diferensial hesablamanın sistematik təqdimatını nəşr etdi. 1742-ci ilə qədər alim inteqral hesablama kursunun işlənib hazırlanmasını da başa çatdırdı və adi diferensial tənliklərin həlli üçün yeni üsullar təklif etdi.
Johannın böyük qardaşı Jacob Bernoulli, düz əyri xəttin əyriliyini tapmaq üçün törəmədən istifadə etdi və həmçinin loqarifmik spiralı öyrənmək üçün istifadə etdi. Əslində, diferensialın əksi olan “inteqral” adının müəllifi Jacob Bernoulli idi.
17-18-ci əsrlərin əvvəllərində Bernoulli qardaşları törəmələrin öyrənilməsinə böyük töhfə verdilər və variasiyaların riyazi hesablamalarının əsasını qoydular.
XVII əsrdən 19-cu əsrə qədər Avropada törəmələrin tədqiqi ilə başqa görkəmli alimlər də məşğul olmuşlar: Leybnits, Nyuton, Laqranj, Yakobi, Veyerştras, Legendre. Məsələn, diferensialın müasir qeydini - d(x) - Qotfrid Vilhelm Leybnits, aslı olan törəmə üçün qeydi isə - f'(x) - Cozef Lui Laqranc təqdim etmişdir.
“Törəmə” termininin özü ilk dəfə 1797-ci ildə Laqranj tərəfindən istifadə edilmişdir. Bu söz, derive - “derivee” sözündən gələn fransız derivee-nin tərcüməsidir.
Sonradan bir çox avropalı riyaziyyatçılar Fransada tətbiq edilən qeyddən istifadə etdilər və “delta” (∇) notu yalnız 1853-cü ildə İrlandiyalı riyaziyyatçı Uilyam Rovan Hamiltonun sayəsində ortaya çıxdı.
Roller coaster analogiyası
Funksiyaları başa düşməyi və onların törəmələrini tapmağı asanlaşdırmaq üçün siz dünyaca məşhur cazibə ilə sadə analogiyadan - roller sahil gəmisindən istifadə edə bilərsiniz. Onlara yandan baxsanız, hətta gözlə, mürəkkəb hesablamalar olmadan, arabanın hərəkətinin əsas xüsusiyyətlərini müəyyən edə bilərsiniz: hansı sahələrdə yüksələcək/enəcək, harada sürətləndiriləcək/yavaşlayacaq, neçə dəfə yüksəliş/enişlər arasındakı sərhədləri keçəcək.
Təyyarədə təsvir olunan funksiya eyni şəkildə təsvir edilə bilər. Müxtəlif sahələrdə müxtəlif yollarla artacaq və azalacaq - bu proses bir törəmə istifadə edərək təsvir edilə və müəyyən edilə bilər. Bunun üçün aşağıdakı tərifləri təqdim edirik:
- Funksiya artımı y oxundakı dəyərlər arasındakı fərqdir.
- Arqument artımı x oxundakı dəyərlər arasındakı fərqdir.
- Funksiyanın dəyişmə sürəti onun artımının arqumentin artımına nisbətidir: dy/dx.
Arqumentin artımı x nə qədər kiçik olsa, hesablamaların dəqiqliyi bir o qədər yüksək olar. Ən yüksək dəqiqliyə arqumentin artımı sıfıra meyl etdikdə əldə edilir. Bu halda, törəmələrin tapılması sonsuzluğa meyilli bir sıra hesablamalar tələb edəcək (dəqiqliyə/qradasiyaya uyğunlaşdırılıb).
Əgər bu tapşırıq insan üçün çox çətindirsə, müasir kompüter onu bir saniyə ərzində idarə edə bilər. Daxil edilmiş məlumatlardan istifadə edərək funksiyanın törəməsini tapacaq xüsusi onlayn proqramdan istifadə etmək kifayətdir, hətta onlar sinusları, kosinusları, kökləri və eksponentləri olan mürəkkəb düsturlara daxil olsalar belə.