آلة حاسبة للاشتقاق
في التحليل الرياضي والفيزياء، يتم استخدام المشتق على نطاق واسع، لوصف الوظائف والمتغيرات المعقدة. وقد يشمل الأخير الجهد الكهربائي، والتفاعلات الكيميائية، وسرعة الحركة.
أي أي كمية يصعب أو يستحيل وصفها بأنها قيمة ثابتة. على سبيل المثال، سرعة السيارة المتحركة التي تتسارع وتتباطأ عدة مرات أثناء القيادة. يهدف المشتق الرياضي للدالة إلى وصف هذه الكميات وتنظيمها وتحليلها.
مشتق الدالة
وفقًا للتعريف الرسمي، فإن المشتق هو حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة وسيطتها عندما يميل الأخير إلى الصفر. عملية حساب المشتق تسمى التمايز. وتسمى الدالة قابلة للاشتقاق فقط إذا كان لها مشتق محدود.
يمكن وصف الدالة على أنها اعتماد كمية على أخرى، ويتم تصويرها في المستوى الإحداثي كخط. للتمييز بينه:
- خذ قيمة x على المحور x.
- عوض بقيمة x المحددة في الصيغة y = f(x).
- احصل على إحداثيات النقطة بالتنسيق x، y.
- أنشئ نقطة بإحداثيات x,y.
- نكرر هذا الإجراء، مع استبدال جميع قيم x الأخرى.
سيُظهر المشتق عدد المرات التي تكون فيها الزيادة في قيمة y أكبر أو أقل من الزيادة في قيمة x. يتم وصف نسبة هذه الزيادات بـ dy/dx، والمشتقة بـ f(x).
القليل من التاريخ
بدأ استخدام المشتقات في الرياضيات في القرن الخامس عشر - لتحديد اعتماد مدى طيران المقذوفات على ميل البنادق. وأول من استخدم هذه التقنية هو عالم الرياضيات الإيطالي نيكولو فونتانا تارتاغليا.
وفي القرن السابع عشر، بدأ الأخوان برنولي من سويسرا في دراسة المشتقات بشكل جدي. نشر الأخ الأصغر، يوهان برنولي، لأول مرة عرضًا منهجيًا لحساب التفاضل والتكامل، والذي أصبح أساسًا لـ "التحليل المتناهي الصغر" في عام 1687. بحلول عام 1742، أكمل العالم أيضًا تطوير دورة تدريبية حول حساب التفاضل والتكامل واقترح طرقًا جديدة لحل المعادلات التفاضلية العادية.
استخدم جاكوب برنولي، شقيق يوهان الأكبر، المشتقة للعثور على انحناء الخط المنحني المسطح، واستخدمها أيضًا لدراسة اللولب اللوغاريتمي. وكان جاكوب برنولي هو مؤلف الاسم "التكاملي"، وهو في الواقع عكس التفاضل.
قدم الأخوان برنولي في مطلع القرنين السابع عشر والثامن عشر مساهمة كبيرة في دراسة المشتقات، ووضعا الأساس لحساب التفاضل والتكامل الرياضي للتغيرات.
في الفترة من القرن السابع عشر إلى القرن التاسع عشر في أوروبا، شارك أيضًا علماء بارزون آخرون في دراسة المشتقات: لايبنتز، نيوتن، لاغرانج، جاكوبي، فايرستراس، ليجيندر. على سبيل المثال، الترميز الحديث للتفاضل - d(x) - تم تقديمه بواسطة جوتفريد فيلهلم لايبنتز، وتم تقديم الترميز للمشتق ذو أولية - f'(x) - بواسطة جوزيف لويس لاغرانج.
تم استخدام مصطلح "مشتق" لأول مرة من قبل لاغرانج في عام 1797. هذه الكلمة هي ترجمة للمشتق الفرنسي، والذي يأتي من اشتقاق - "مشتق".
وبعد ذلك، استخدم العديد من علماء الرياضيات الأوروبيين الترميز الذي تم تقديمه في فرنسا، ولم يظهر الترميز "دلتا" (∇) إلا في عام 1853، وذلك بفضل عالم الرياضيات الأيرلندي ويليام روان هاملتون.
تشبيه السفينة الدوارة
لتسهيل فهم الوظائف والعثور على مشتقاتها، يمكنك استخدام تشبيه بسيط مع عامل الجذب المشهور عالميًا - السفينة الدوارة. إذا نظرت إليها من الجانب، يمكنك حتى بالعين المجردة، دون حسابات معقدة، تحديد السمات الرئيسية لحركة العربة: في أي المناطق سترتفع/تهبط، وأين ستتسارع/تتباطأ، وكم مرة سوف يعبر الحدود بين الصعود والهبوط.
يمكن وصف الوظيفة الموضحة على المستوى بنفس الطريقة تمامًا. في مناطق مختلفة سوف تزيد وتنخفض بطرق مختلفة - يمكن وصف هذه العملية وتحديدها باستخدام أحد المشتقات. وللقيام بذلك، نقدم التعريفات التالية:
- زيادة الدالة هي الفرق بين القيم على المحور الصادي.
- زيادة الوسيطة هي الفرق بين القيم على المحور السيني.
- معدل تغير الدالة هو نسبة زيادتها إلى زيادة الوسيط: dy/dx.
كلما كانت زيادة الوسيطة x أصغر، زادت دقة الحسابات. يتم تحقيق أعلى دقة عندما تميل زيادة الوسيطة إلى الصفر. في هذه الحالة، سيتطلب العثور على المشتقات عددًا من الحسابات تتجه إلى ما لا نهاية (يتم تعديلها من أجل الدقة/التدرج).
إذا كانت هذه المهمة صعبة للغاية بالنسبة لأي شخص، فيمكن للكمبيوتر الحديث التعامل معها في جزء من الثانية. يكفي استخدام تطبيق خاص عبر الإنترنت للعثور على مشتقة دالة باستخدام البيانات المدخلة، حتى لو تم تضمينها في صيغ معقدة مع الجيب وجيب التمام والجذور والأسس.
