Atvasinājumu kalkulators
Matemātiskajā analīzē un fizikā atvasinājumu plaši izmanto, aprakstot sarežģītas funkcijas un mainīgos. Pēdējais var ietvert elektrisko spriegumu, ķīmiskās reakcijas un kustības ātrumu.
Tas ir, jebkurš daudzums, kuru ir grūti vai neiespējami aprakstīt kā nemainīgu vērtību. Piemēram, braucošas automašīnas ātrums, kas braukšanas laikā daudzkārt paātrina un samazina ātrumu. Funkcijas matemātiskais atvasinājums ir paredzēts, lai aprakstītu, sistematizētu un analizētu šādus lielumus.
Funkcijas atvasinājums
Saskaņā ar oficiālo definīciju atvasinājums ir funkcijas pieauguma attiecības robeža ar tās argumenta pieaugumu, ja pēdējam ir tendence uz nulli. Atvasinājuma aprēķināšanas procesu sauc par diferenciāciju. Un funkciju sauc par diferencējamu tikai tad, ja tai ir galīgs atvasinājums.
Funkciju var aprakstīt kā viena lieluma atkarību no cita, un koordinātu plaknē attēlot kā līniju. Lai to atšķirtu:
- Ņemiet x vērtību uz x ass.
- Aizvietojiet atlasīto x vērtību formulā y = f(x).
- Iegūstiet punkta koordinātas x, y formātā.
- Izveidojiet punktu ar koordinātām x, y.
- Šo procedūru atkārtojam, aizstājot visas pārējās x vērtības.
Atvasinājums parādīs, cik reižu y vērtības pieaugums ir lielāks vai mazāks par x vērtības pieaugumu. Šo palielinājumu attiecība ir aprakstīta kā dy/dx, un atvasinājums ir f(x).
Mazliet vēstures
Atvasinājumus matemātikā sāka izmantot jau 15. gadsimtā — lai noteiktu šāviņu lidojuma diapazona atkarību no ieroču slīpuma. Pirmais, kas izmantoja šo paņēmienu, bija itāļu matemātiķis Nikolo Fontana Tartaglija.
Un 17. gadsimtā brāļi Bernulli no Šveices sāka nopietni pētīt atvasinājumus. Jaunākais brālis Johans Bernulli pirmo reizi publicēja sistemātisku diferenciālrēķina prezentāciju, kas kļuva par pamatu “bezgalīgi mazai analīzei” 1687. gadā. Līdz 1742. gadam zinātnieks pabeidza arī integrālrēķina kursa izstrādi un ierosināja jaunas metodes parasto diferenciālvienādojumu risināšanai.
Johana vecākais brālis Džeikobs Bernulli izmantoja atvasinājumu, lai atrastu plakanas izliektas līnijas izliekumu, kā arī to izmantoja, lai pētītu logaritmisko spirāli. Tieši Džeikobs Bernulli bija vārda “integrālis” autors, kas patiesībā ir pretstats diferenciālim.
Brāļi Bernulli 17.–18. gadsimta mijā sniedza milzīgu ieguldījumu atvasinājumu izpētē un lika pamatus matemātiskajam variāciju aprēķinam.
Laikā no 17. gadsimta līdz 19. gadsimtam Eiropā atvasinājumu izpētē bija iesaistīti arī citi ievērojami zinātnieki: Leibnics, Ņūtons, Lagranžs, Džeikobi, Veierštrāss, Leģendrs. Piemēram, moderno diferenciāļa apzīmējumu — d(x) — ieviesa Gotfrīds Vilhelms Leibnics, bet apzīmējumu atvasinājumam ar pirmskaitļu — f'(x) — Džozefs Luiss Lagranžs.
Pašu terminu “atvasinājums” pirmo reizi izmantoja Lagranžs 1797. gadā. Šis vārds ir tulkojums no franču valodas derivee, kas cēlies no atvasināts — “atvasināts”.
Pēc tam daudzi Eiropas matemātiķi izmantoja Francijā ieviesto apzīmējumu, un apzīmējums “delta” (∇) parādījās tikai 1853. gadā, pateicoties īru matemātiķim Viljamam Rovanam Hamiltonam.
Amerikāņu kalniņi
Lai būtu vieglāk saprast funkcijas un atrast to atvasinājumus, varat izmantot vienkāršu analoģiju ar pasaulslaveno atrakciju — amerikāņu kalniņiem. Ja paskatās uz tiem no malas, tad pat ar aci bez sarežģītiem aprēķiniem var noteikt galvenās ratiņu kustības iezīmes: kādos apgabalos tas pacelsies/nolaidīsies, kur paātrināsies/palēnināsies, cik reizes. tas šķērsos robežas starp kāpumiem/nokāpumiem.
Funkciju, kas attēlota plaknē, var aprakstīt tieši tādā pašā veidā. Dažādās jomās tas palielināsies un samazināsies dažādos veidos - šo procesu var aprakstīt un noteikt, izmantojot atvasinājumu. Lai to izdarītu, mēs ieviešam šādas definīcijas:
- Funkcijas pieaugums ir starpība starp vērtībām uz y ass.
- Argumenta pieaugums ir starpība starp vērtībām uz x ass.
- Funkcijas izmaiņu ātrums ir tās pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu: dy/dx.
Jo mazāks ir argumenta x pieaugums, jo lielāka ir aprēķinu precizitāte. Vislielākā precizitāte tiek sasniegta, ja argumenta pieaugumam ir tendence uz nulli. Šajā gadījumā, lai atrastu atvasinājumus, būs jāveic vairāki aprēķini, kas tiecas līdz bezgalībai (pielāgoti precizitātei/gradācijai).
Ja šis uzdevums cilvēkam ir pārāk grūts, tad mūsdienīgs dators ar to var tikt galā sekundes daļā. Pietiek izmantot īpašu tiešsaistes lietojumprogrammu, kas, izmantojot ievadītos datus, atradīs funkcijas atvasinājumu, pat ja tie ir iekļauti sarežģītās formulās ar sinusiem, kosinusiem, saknēm un eksponentiem.
