Išvestinės skaičiuotuvas
![Išvestinės skaičiuotuvas](/media/images/derivative_calculator.webp)
Matematinėje analizėje ir fizikoje išvestinė plačiai naudojama, apibūdinanti sudėtingas funkcijas ir kintamuosius. Pastarieji gali apimti elektros įtampą, chemines reakcijas ir judėjimo greitį.
Tai yra bet koks kiekis, kurį sunku arba neįmanoma apibūdinti kaip pastovią vertę. Pavyzdžiui, važiuojančio automobilio greitis, kuris važiuojant daug kartų įsibėgėja ir lėtėja. Matematinė funkcijos išvestinė skirta tokiems dydžiams aprašyti, sisteminti ir analizuoti.
Funkcijos išvestinė
Pagal oficialų apibrėžimą, išvestinė yra funkcijos prieaugio ir jos argumento prieaugio santykio riba, kai pastarasis linkęs į nulį. Išvestinės apskaičiavimo procesas vadinamas diferenciacija. O funkcija vadinama diferencijuojama tik tada, kai ji turi baigtinę išvestinę.
Funkciją galima apibūdinti kaip vieno dydžio priklausomybę nuo kito, o koordinačių plokštumoje pavaizduoti kaip tiesę. Norėdami tai atskirti:
- Paimkite x reikšmę x ašyje.
- Pakeiskite pasirinktą x reikšmę į formulę y = f(x).
- Gaukite taško koordinates x, y formatu.
- Sukurkite tašką su koordinatėmis x, y.
- Šią procedūrą kartojame, pakeisdami visas kitas x reikšmes.
Išvestinė priemonė parodys, kiek kartų y vertės padidėjimas yra didesnis arba mažesnis už x vertės padidėjimą. Šių prieaugių santykis apibūdinamas kaip dy/dx, o išvestinė kaip f(x).
Šiek tiek istorijos
Deriniai matematikoje pradėti naudoti dar XV amžiuje – nustatyti sviedinių skrydžio nuotolio priklausomybę nuo pabūklų polinkio. Pirmasis šią techniką panaudojo italų matematikas Niccolo Fontana Tartaglia.
Ir XVII amžiuje broliai Bernoulli iš Šveicarijos pradėjo rimtai tyrinėti vedinius. Jaunesnysis brolis Johanas Bernoulli pirmą kartą paskelbė sistemingą diferencialinio skaičiavimo pristatymą, kuris tapo „Begalybės mažos analizės“ pagrindu 1687 m. Iki 1742 m. mokslininkas taip pat baigė kurti integralinio skaičiavimo kursą ir pasiūlė naujus įprastų diferencialinių lygčių sprendimo būdus.
Vyresnysis Johano brolis Jacobas Bernoulli naudojo išvestinę plokščios lenktos linijos kreivumui nustatyti, taip pat naudojo jį logaritminės spiralės tyrimui. Būtent Jacobas Bernoulli buvo pavadinimo „integralas“, kuris iš tikrųjų yra diferencialo priešingybė, autorius.
Broliai Bernuliai XVII–XVIII amžių sandūroje įnešė didžiulį indėlį į vedinių tyrimą ir padėjo pamatus matematiniam variacijų skaičiavimui.
XVII–XIX a. Europoje darinių tyrinėjimu užsiėmė ir kiti žymūs mokslininkai: Leibnicas, Niutonas, Lagranžas, Jacobi, Weierstrassas, Legendre. Pavyzdžiui, šiuolaikinį diferencialo žymėjimą – d(x) – įvedė Gottfriedas Wilhelmas Leibnicas, o išvestinės su pirminiu ženklu – f'(x) – žymėjimą Joseph Louis Lagrange.
Patį terminą „darinys“ pirmą kartą pavartojo Lagranžas 1797 m. Šis žodis yra prancūzų kalbos vedinys, kilęs iš vedinys – „vedinys“.
Vėliau daugelis Europos matematikų naudojo Prancūzijoje įvestą žymėjimą, o užrašas „delta“ (∇) atsirado tik 1853 m. airių matematiko Williamo Rowano Hamiltono dėka.
Amerikietiškų kalnelių analogija
Kad būtų lengviau suprasti funkcijas ir rasti jų išvestinius, galite naudoti paprastą analogiją su visame pasaulyje žinoma atrakcija – amerikietiškais kalneliais. Jei pažvelgsite į juos iš šono, galite net iš akies, be sudėtingų skaičiavimų, nustatyti pagrindinius vežimėlio judėjimo ypatumus: kokiose srityse jis kils / nusileis, kur greitės / lėtės, kiek kartų. jis peržengs ribas tarp pakilimų/nusileidimų.
Plokštumoje pavaizduotą funkciją galima apibūdinti lygiai taip pat. Skirtingose srityse jis didės ir mažės skirtingai – šį procesą galima apibūdinti ir nustatyti naudojant išvestinę. Norėdami tai padaryti, pateikiame šiuos apibrėžimus:
- Funkcijos padidėjimas yra skirtumas tarp y ašies verčių.
- Argumento prieaugis yra skirtumas tarp reikšmių, esančių x ašyje.
- Funkcijos kitimo greitis yra jos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis: dy/dx.
Kuo mažesnis argumento x padidėjimas, tuo didesnis skaičiavimų tikslumas. Didžiausias tikslumas pasiekiamas, kai argumento prieaugis linkęs į nulį. Tokiu atveju norint rasti išvestines reikės atlikti daugybę skaičiavimų iki begalybės (pakoreguota pagal tikslumą / gradaciją).
Jei ši užduotis žmogui per sunki, šiuolaikinis kompiuteris gali ją atlikti per sekundės dalį. Pakanka naudoti specialią internetinę programą, kuri, naudodama įvestus duomenis, suras funkcijos išvestinę, net jei jie yra įtraukti į sudėtingas formules su sinusais, kosinusais, šaknimis ir eksponentais.