• Indonesia
    • Azərbaycanca
    • Català
    • Dansk
    • Deutsch
    • Eesti
    • English
    • Español
    • Ελληνικά
    • Filipino
    • Français
    • Hrvatski
    • Indonesia
    • Italiano
    • Latviešu
    • Lietuvių
    • Magyar
    • Melayu
    • Nederlands
    • Norsk
    • Polski
    • Português
    • Română
    • Shqip
    • Slovenčina
    • Slovenščina
    • Srpski
    • Suomi
    • Svenska
    • Tiếng Việt
    • Türkçe
    • Čeština
    • Български
    • Македонски
    • Русский
    • Українська
    • العربية
    • فارسی
    • বাংলা
    • עברית
    • اردو
    • हिन्दी
    • ภาษาไทย
    • ქართული
    • 简体中文
    • 繁體中文
    • 日本語
    • 한국어

Kalkulator derivatif

Kalkulator derivatif

Dalam analisis matematika dan fisika, turunan banyak digunakan, yang menjelaskan fungsi dan variabel kompleks. Yang terakhir mungkin mencakup tegangan listrik, reaksi kimia, dan kecepatan gerakan.

Artinya, besaran apa pun yang sulit atau tidak mungkin digambarkan sebagai nilai konstan. Misalnya saja kecepatan mobil yang melaju yang mengalami percepatan dan perlambatan berkali-kali lipat saat melaju. Turunan matematika suatu fungsi dimaksudkan untuk mendeskripsikan, mensistematisasikan, dan menganalisis besaran tersebut.

Turunan suatu fungsi

Menurut definisi resmi, turunan adalah batas rasio kenaikan suatu fungsi terhadap kenaikan argumennya ketika argumennya cenderung nol. Proses menghitung turunannya disebut diferensiasi. Dan suatu fungsi disebut terdiferensiasi hanya jika fungsi tersebut mempunyai turunan berhingga.

Suatu fungsi dapat digambarkan sebagai ketergantungan suatu besaran terhadap besaran lain, dan digambarkan pada bidang koordinat sebagai sebuah garis. Untuk membedakannya:

  • Ambil nilai x pada sumbu x.
  • Substitusikan nilai x yang dipilih ke dalam rumus y = f(x).
  • Dapatkan koordinat titik dalam format x, y.
  • Buatlah sebuah titik dengan koordinat x, y.
  • Kami mengulangi prosedur ini, menggantikan semua nilai x lainnya.

Derivatifnya akan menunjukkan berapa kali kenaikan nilai y lebih besar atau lebih kecil dari kenaikan nilai x. Rasio kenaikan ini digambarkan sebagai dy/dx, dan turunannya sebagai f(x).

Sedikit sejarah

Derivatif mulai digunakan dalam matematika pada abad ke-15 - untuk menentukan ketergantungan jangkauan proyektil pada kemiringan senjata. Orang pertama yang menggunakan teknik ini adalah matematikawan Italia Niccolo Fontana Tartaglia.

Dan pada abad ke 17, Bernoulli bersaudara dari Swiss mulai mempelajari derivatif dengan sungguh-sungguh. Adiknya, Johann Bernoulli, pertama kali menerbitkan presentasi sistematis kalkulus diferensial, yang menjadi dasar “Analisis Infinitesimal” pada tahun 1687. Pada tahun 1742, ilmuwan tersebut juga menyelesaikan pengembangan kursus kalkulus integral dan mengusulkan metode baru untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa.

Kakak laki-laki Johann, Jacob Bernoulli, menggunakan turunan untuk mencari kelengkungan garis lengkung datar, dan juga menggunakannya untuk mempelajari spiral logaritmik. Adalah Jacob Bernoulli yang merupakan penulis nama “integral”, yang sebenarnya merupakan kebalikan dari diferensial.

Bernoulli bersaudara pada pergantian abad ke-17-18 memberikan kontribusi besar dalam studi turunan, dan meletakkan dasar bagi kalkulus matematika variasi.

Pada periode abad ke-17 hingga ke-19 di Eropa, ilmuwan terkemuka lainnya juga terlibat dalam studi turunan: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Misalnya, notasi modern untuk diferensial - d(x) - diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz, dan notasi untuk turunan dengan bilangan prima - f'(x) - oleh Joseph Louis Lagrange.

Istilah “derivatif” sendiri pertama kali digunakan oleh Lagrange pada tahun 1797. Kata ini merupakan terjemahan dari bahasa Prancis, berasal dari kata turunan - “berasal.”

Selanjutnya, banyak matematikawan Eropa menggunakan notasi yang diperkenalkan di Prancis, dan notasi “delta” (∇) baru muncul pada tahun 1853, berkat matematikawan Irlandia William Rowan Hamilton.

Analogi roller coaster

Untuk memudahkan memahami fungsi dan mencari turunannya, Anda dapat menggunakan analogi sederhana dengan atraksi terkenal di dunia - roller coaster. Jika Anda melihatnya dari samping, Anda bahkan dapat dengan mata, tanpa perhitungan yang rumit, menentukan ciri-ciri utama pergerakan troli: di area mana troli akan naik/turun, di mana ia akan berakselerasi/memperlambat, berapa kali itu akan melintasi batas antara tanjakan/turunan.

Fungsi yang digambarkan pada bidang dapat dijelaskan dengan cara yang persis sama. Di daerah yang berbeda akan bertambah dan berkurang dengan cara yang berbeda - proses ini dapat dijelaskan dan ditentukan dengan menggunakan turunan. Untuk melakukan hal ini, kami memperkenalkan definisi berikut:

  • Pertambahan fungsi adalah selisih antara nilai pada sumbu y.
  • Pertambahan argumen adalah selisih antara nilai pada sumbu x.
  • Laju perubahan suatu fungsi adalah rasio kenaikannya terhadap kenaikan argumen: dy/dx.

Semakin kecil pertambahan argumen x, semakin tinggi akurasi perhitungannya. Akurasi tertinggi dicapai ketika kenaikan argumen cenderung nol. Dalam hal ini, mencari turunan memerlukan sejumlah perhitungan yang cenderung tak terhingga (disesuaikan dengan akurasi/gradasi).

Jika tugas ini terlalu sulit bagi seseorang, maka komputer modern dapat menanganinya dalam hitungan detik. Cukup menggunakan aplikasi online khusus yang akan mencari turunan suatu fungsi menggunakan data yang dimasukkan, meskipun termasuk dalam rumus kompleks dengan sinus, cosinus, akar, dan eksponen.

Kalkulator diferensiasi

Kalkulator diferensiasi

Dalam matematika ada banyak jenis turunan: parsial dan lengkap, satu sisi dan variasional, besaran dan arah, turunan Gateau, Lie, Frechet.

Tidak masuk akal untuk membuat daftar dan menjelaskan perbedaannya, namun ada baiknya memahami apa itu turunan dalam bentuk umum dan bagaimana turunannya dapat digunakan dalam kehidupan sehari-hari.

Menurut definisi resmi, turunan adalah rasio kenaikan suatu fungsi terhadap kenaikan argumen ketika argumen tersebut cenderung nol. Rumusnya seperti ini:

  • f'(x) = Δf / Δx, dengan Δx → 0.

Oleh karena itu, f'(x) adalah sebutan untuk turunan, Δf adalah kenaikan fungsi, dan Δx adalah kenaikan argumen. Ekspresi tersebut valid ketika mempertimbangkan suatu fungsi pada bidang: dengan sumbu absis (x) dan ordinat (y).

Penerapan praktis turunan

Adalah suatu kesalahan untuk meyakini bahwa fungsi dan turunannya hanyalah konsep matematika murni yang tidak dapat berguna dalam kehidupan sehari-hari. Sebaliknya, komponen analisis matematis ini banyak digunakan tidak hanya dalam aljabar dan fisika, tetapi juga dalam geografi, biologi, ekonomi, IT, dan teknik elektro.

Mari kita lihat contoh ilustratif tentang bagaimana turunan dapat digunakan untuk menilai pertumbuhan popularitas video di jaringan sosial.

Misalnya, Anda mengupload video yang mendapat 1 penayangan pada jam pertama, 3 penayangan pada jam kedua, 9 penayangan pada jam ketiga, dan 16 penayangan pada jam keempat. Ini dapat direpresentasikan sebagai fungsi, yang mana jamnya adalah terletak pada sumbu x (x), dan jumlah tampilan akan berada pada sumbu ordinat (y).

Setelah menempatkan nilai tampilan yang sesuai di depan setiap jam, kita menghubungkannya dengan garis yang berasal dari titik 0. Jika kita menggambar garis yang sejajar dengan sumbu x dari titik yang sesuai dengan jam kedua, dan a garis sejajar sumbu y dari titik jam ketiga, keduanya akan berpotongan di bawah grafik fungsi. Mengurangi 2 jam dari 3 jam, dan 4 tampilan dari 9 tampilan (sesuai dengan titik potong garis), kita mendapatkan:

  • f'(x) = Δf / Δx = 5 / 1 = 5.

Ini adalah turunan yang diinginkan, artinya rata-rata efektivitas video Anda selama periode 0 hingga 4 jam adalah 5 penayangan per jam. Perhitungan serupa dapat dilakukan untuk besaran-besaran yang saling bergantung lainnya: kecepatan dan jarak yang ditempuh, arus dan tegangan, waktu dan frekuensi.

Penerapan turunan di berbagai bidang

Sulit untuk menemukan setidaknya satu bidang aktivitas manusia di mana, dalam satu atau lain bentuk, hukum matematika tidak akan digunakan.

Dalam hal fungsi dan turunannya, yang merupakan bagian dari analisis matematika, bidang yang paling umum adalah teknik elektro, ekonomi, fisika, kimia, biologi, geografi, dan sosiologi.

Sulit membayangkannya tidak hanya tanpa integrasi, tetapi juga tanpa diferensiasi, yaitu penemuan turunan fungsi. Dengan bantuan turunan hari ini mereka menentukan:

  • Perkiraan penurunan/peningkatan pendapatan ketika harga barang naik.
  • Ketergantungan pendapatan anggaran pada penerapan bea masuk tertentu.
  • Efisiensi energi peralatan listrik yang beroperasi pada arus bolak-balik.
  • Kecepatan dan dinamika reaksi kimia.
  • Pengaruh populasi biologis satu sama lain dalam lingkaran cahaya habitat umum.
  • Fitur medan elektromagnetik bumi.
  • Indikator geofisika nuklir.
  • Perkiraan populasi di masing-masing kota dan negara.

Paling sering, argumen (x) dalam penelitian tersebut adalah waktu (t), dan fungsinya adalah besaran yang berubah sehubungan dengan itu: besaran, kecepatan, tegangan, massa. Semakin sering diukur dalam dinamika, argumen (x) akan semakin kecil, dan akurasi diferensiasi akan semakin tinggi.

Misalnya, jika Anda melakukan pembacaan speedometer setiap 30 detik, Anda akan mendapatkan grafik fungsi yang jauh lebih akurat dibandingkan jika Anda melakukan pengukuran setiap 7-10 menit.

Derivatif juga sangat diperlukan dalam penelitian sosiologi. Pada suatu waktu, hal ini menjadi dasar model sosial Thomas Malthus dan secara obyektif mencerminkan pertumbuhan penduduk sebanding dengan jumlah penduduk saat ini.

Model ini digunakan di Amerika Serikat pada tahun 1790-an hingga 1860-an, namun kemudian ditinggalkan karena perubahan mendasar dalam dinamika demografi: tidak hanya di Amerika Serikat, namun di seluruh dunia. Namun hal ini tidak berarti bahwa turunannya menjadi tidak berguna di bidang ini. Hanya saja salah satu fungsi dari dua besaran yang saling bergantung digantikan oleh fungsi lain yang lebih mencerminkan realitas modern.