Derivatív kalkulátor
![Derivatív kalkulátor](/media/images/derivative_calculator.webp)
A matematikai elemzésben és a fizikában a derivált széles körben használatos, és összetett függvényeket és változókat ír le. Ez utóbbi magában foglalhatja az elektromos feszültséget, a kémiai reakciókat és a mozgási sebességet.
Azaz minden olyan mennyiség, amelyet nehéz vagy lehetetlen állandó értékként leírni. Például egy mozgó autó sebessége, amely vezetés közben sokszor gyorsul és lassul. A függvény matematikai deriváltja az ilyen mennyiségek leírására, rendszerezésére és elemzésére szolgál.
Függvény származéka
A hivatalos definíció szerint a derivált a függvény növekményének és argumentuma növekményének arányának határa, amikor az utóbbi nullára hajlik. A derivált kiszámításának folyamatát differenciálásnak nevezzük. Egy függvényt pedig csak akkor nevezünk differenciálhatónak, ha véges deriváltja van.
Egy függvény leírható úgy, mint egy mennyiség függése a másiktól, és a koordinátasíkban egyenesként ábrázolható. Megkülönböztetése:
- Vegye fel az x értéket az x tengelyen.
- Helyettesítse be a kiválasztott x értéket az y = f(x) képletbe.
- Kérje le a pont koordinátáit x, y formátumban.
- Hozzon létre egy pontot x, y koordinátákkal.
- Megismételjük ezt az eljárást az összes többi x érték helyettesítésével.
A derivált megmutatja, hogy az y érték növekménye hányszor nagyobb vagy kisebb, mint az x érték növekedése. Ezen növekmény aránya dy/dx, a derivált pedig f(x).
Egy kis történelem
A származékokat a 15. században kezdték használni a matematikában – a lövedékek repülési hatótávolságának a fegyverek dőlésétől való függésének meghatározására. Elsőként Niccolo Fontana Tartaglia olasz matematikus alkalmazta ezt a technikát.
A 17. században pedig a svájci Bernoulli testvérek komolyan elkezdték tanulmányozni a származékokat. Az öccs, Johann Bernoulli először publikált egy szisztematikus differenciálszámítást, amely 1687-ben az „Infinitezimal Analysis” alapja lett. 1742-re a tudós befejezte az integrálszámítási kurzus kidolgozását, és új módszereket javasolt a közönséges differenciálegyenletek megoldására.
Johann bátyja, Jacob Bernoulli a származékot használta egy lapos görbe vonal görbületének meghatározására, és a logaritmikus spirál tanulmányozására is. Jacob Bernoulli volt az „integrál” név szerzője, amely valójában a differenciál ellentéte.
A Bernoulli fivérek a 17-18. század fordulóján nagymértékben hozzájárultak a származékok tanulmányozásához, és megalapozták a matematikai variációszámítást.
A 17. és a 19. század közötti időszakban Európában más kiváló tudósok is részt vettek a származékok tanulmányozásában: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Például a differenciál modern jelölését - d(x) - Gottfried Wilhelm Leibniz, az f'(x) prímszámú derivált jelölését pedig Joseph Louis Lagrange vezette be.
Maga a „származék” kifejezést először Lagrange használta 1797-ben. Ez a szó a francia származék fordítása, amely a derive - „származtatott” szóból származik.
Ezt követően sok európai matematikus használta a Franciaországban bevezetett jelölést, és a „delta” (∇) jelölés csak 1853-ban jelent meg, William Rowan Hamilton ír matematikusnak köszönhetően.
A hullámvasút analógiája
A függvények könnyebb megértése és származékaik megtalálása érdekében egyszerű hasonlattal élhet a világhírű látnivalóval - a hullámvasúttal. Ha oldalról nézzük őket, akkor akár szemmel, bonyolult számítások nélkül is meghatározhatjuk a kocsi mozgásának főbb jellemzőit: milyen területeken fog emelkedni/süllyedni, hol gyorsul/lassul, hányszor. át fogja lépni az emelkedők/leszállások közötti határokat.
A síkon ábrázolt függvény pontosan ugyanúgy leírható. Különböző területeken eltérő módon fog növekedni és csökkenni – ez a folyamat derivált segítségével írható le és határozható meg. Ehhez a következő definíciókat vezetjük be:
- A függvény növekménye az y tengelyen lévő értékek közötti különbség.
- Az argumentum növekménye az x tengelyen lévő értékek közötti különbség.
- Egy függvény változási sebessége a növekményének és az argumentum növekményének aránya: dy/dx.
Minél kisebb az x argumentum növekménye, annál pontosabb a számítás. A legnagyobb pontosság akkor érhető el, ha az argumentum növekménye nullára hajlik. Ebben az esetben a származékok megtalálásához számos számításra van szükség, amelyek a végtelenségig tartanak (a pontossághoz/gradációhoz igazítva).
Ha ez a feladat túl nehéz egy személy számára, akkor egy modern számítógép a másodperc töredéke alatt képes megbirkózni vele. Elég egy speciális online alkalmazás használata, amely a bevitt adatok alapján megkeresi egy függvény deriváltját, még akkor is, ha azok összetett képletekben szerepelnek szinuszokkal, koszinuszokkal, gyökökkel és kitevőkkel.