Calculateur de dérivée
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En analyse mathématique et en physique, la dérivée est largement utilisée pour décrire des fonctions et des variables complexes. Ces dernières peuvent inclure la tension électrique, les réactions chimiques et la vitesse de déplacement.
C'est-à-dire toute quantité difficile ou impossible à décrire comme une valeur constante. Par exemple, la vitesse d'une voiture en mouvement qui accélère et décélère plusieurs fois pendant la conduite. La dérivée mathématique d'une fonction est destinée à décrire, systématiser et analyser de telles quantités.
Dérivée d'une fonction
Selon la définition officielle, la dérivée est la limite du rapport de l'incrément d'une fonction à l'incrément de son argument lorsque ce dernier tend vers zéro. Le processus de calcul de la dérivée est appelé différenciation. Et une fonction n'est dite différentiable que si elle a une dérivée finie.
Une fonction peut être décrite comme la dépendance d'une quantité par rapport à une autre et représentée dans le plan de coordonnées sous la forme d'une ligne. Pour le différencier :
- Prenez la valeur x sur l'axe des x.
- Remplacez la valeur x sélectionnée dans la formule y = f(x).
- Obtenir les coordonnées du point au format x, y.
- Construisez un point avec les coordonnées x, y.
- Nous répétons cette procédure en remplaçant toutes les autres valeurs x.
La dérivée montrera combien de fois l'incrément de la valeur y est supérieur ou inférieur à l'incrément de la valeur x. Le rapport de ces incréments est décrit par dy/dx et la dérivée par f(x).
Un peu d'histoire
Les dérivés ont commencé à être utilisés en mathématiques au XVe siècle - pour déterminer la dépendance de la portée de vol des projectiles sur l'inclinaison des armes à feu. Le premier à utiliser cette technique fut le mathématicien italien Niccolo Fontana Tartaglia.
Et au XVIIe siècle, les frères Bernoulli de Suisse ont commencé à étudier sérieusement les dérivés. Le frère cadet, Johann Bernoulli, fut le premier à publier une présentation systématique du calcul différentiel, qui devint la base de « l'analyse infinitésimale » en 1687. En 1742, le scientifique a également achevé l'élaboration d'un cours sur le calcul intégral et a proposé de nouvelles méthodes pour résoudre les équations différentielles ordinaires.
Le frère aîné de Johann, Jacob Bernoulli, a utilisé la dérivée pour trouver la courbure d'une ligne courbe plate, et l'a également utilisé pour étudier la spirale logarithmique. C'est Jacob Bernoulli qui est l'auteur du nom « intégral », qui, en fait, est le contraire d'un différentiel.
Au tournant des XVIIe et XVIIIe siècles, les frères Bernoulli ont apporté une énorme contribution à l'étude des dérivées et ont jeté les bases du calcul mathématique des variations.
Du XVIIe au XIXe siècle en Europe, d'autres scientifiques éminents se sont également impliqués dans l'étude des dérivés : Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Par exemple, la notation moderne d'une différentielle - d(x) - a été introduite par Gottfried Wilhelm Leibniz, et la notation d'une dérivée avec un nombre premier - f'(x) - par Joseph Louis Lagrange.
Le terme « dérivé » lui-même a été utilisé pour la première fois par Lagrange en 1797. Ce mot est une traduction du français dérivé, qui vient de dérive - « dérivé ».
Par la suite, de nombreux mathématiciens européens utilisèrent la notation introduite en France, et la notation « delta » (∇) n'apparut qu'en 1853, grâce au mathématicien irlandais William Rowan Hamilton.
Analogie des montagnes russes
Pour faciliter la compréhension des fonctions et trouver leurs dérivées, vous pouvez utiliser une analogie simple avec l'attraction de renommée mondiale : les montagnes russes. Si vous les regardez de côté, vous pouvez même à l'œil nu, sans calculs complexes, déterminer les principales caractéristiques du mouvement du chariot : dans quelles zones il va monter/descendre, où il va accélérer/ralentir, combien de fois il franchira les frontières entre montées/descentes.
La fonction représentée sur l'avion peut être décrite exactement de la même manière. Dans différents domaines, il augmentera et diminuera de différentes manières - ce processus peut être décrit et déterminé à l'aide d'une dérivée. Pour ce faire, nous introduisons les définitions suivantes :
- L'incrément de fonction est la différence entre les valeurs sur l'axe y.
- L'incrément de l'argument est la différence entre les valeurs sur l'axe des x.
- Le taux de changement d'une fonction est le rapport de son incrément à l'incrément de l'argument : dy/dx.
Plus l'incrément de l'argument x est petit, plus la précision des calculs est élevée. La précision la plus élevée est obtenue lorsque l’incrément de l’argument tend vers zéro. Dans ce cas, trouver des dérivées nécessitera un certain nombre de calculs tendant vers l'infini (ajustés en fonction de la précision/gradation).
Si cette tâche est trop difficile pour une personne, alors un ordinateur moderne peut la gérer en une fraction de seconde. Il suffit d'utiliser une application en ligne spéciale qui trouvera la dérivée d'une fonction en utilisant les données saisies, même si elles sont incluses dans des formules complexes avec des sinus, des cosinus, des racines et des exposants.