Υπολογιστής παραγώγων
![Υπολογιστής παραγώγων](/media/images/derivative_calculator.webp)
Στη μαθηματική ανάλυση και τη φυσική, η παράγωγος χρησιμοποιείται ευρέως, περιγράφοντας σύνθετες συναρτήσεις και μεταβλητές. Το τελευταίο μπορεί να περιλαμβάνει ηλεκτρική τάση, χημικές αντιδράσεις και ταχύτητα κίνησης.
Δηλαδή, κάθε ποσότητα που είναι δύσκολο ή αδύνατο να περιγραφεί ως σταθερή τιμή. Για παράδειγμα, η ταχύτητα ενός κινούμενου αυτοκινήτου που επιταχύνει και επιβραδύνει πολλές φορές κατά την οδήγηση. Η μαθηματική παράγωγος μιας συνάρτησης προορίζεται για την περιγραφή, τη συστηματοποίηση και την ανάλυση τέτοιων μεγεθών.
Παράγωγο συνάρτησης
Σύμφωνα με τον επίσημο ορισμό, η παράγωγος είναι το όριο του λόγου της αύξησης μιας συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματός της όταν το τελευταίο τείνει στο μηδέν. Η διαδικασία υπολογισμού της παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση. Και μια συνάρτηση ονομάζεται διαφοροποιήσιμη μόνο αν έχει πεπερασμένη παράγωγο.
Μια συνάρτηση μπορεί να περιγραφεί ως η εξάρτηση μιας ποσότητας από μια άλλη και να απεικονιστεί στο επίπεδο συντεταγμένων ως γραμμή. Για να το διαφοροποιήσετε:
- Λάβετε την τιμή x στον άξονα x.
- Αντικαταστήστε την επιλεγμένη τιμή x στον τύπο y = f(x).
- Λάβετε τις συντεταγμένες του σημείου σε μορφή x, y.
- Κατασκευάστε ένα σημείο με συντεταγμένες x, y.
- Επαναλαμβάνουμε αυτήν τη διαδικασία, αντικαθιστώντας όλες τις άλλες τιμές x.
Η παράγωγος θα δείξει πόσες φορές η αύξηση στην τιμή y είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από την αύξηση στην τιμή x. Ο λόγος αυτών των αυξήσεων περιγράφεται ως dy/dx και η παράγωγος ως f(x).
Μια μικρή ιστορία
Τα παράγωγα άρχισαν να χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά τον 15ο αιώνα - για τον προσδιορισμό της εξάρτησης της εμβέλειας των βλημάτων από την κλίση των όπλων. Ο πρώτος που χρησιμοποίησε αυτή την τεχνική ήταν ο Ιταλός μαθηματικός Niccolo Fontana Tartaglia.
Και τον 17ο αιώνα, οι αδερφοί Μπερνούλι από την Ελβετία άρχισαν να μελετούν σοβαρά τα παράγωγα. Ο μικρότερος αδερφός, Johann Bernoulli, δημοσίευσε για πρώτη φορά μια συστηματική παρουσίαση του διαφορικού λογισμού, η οποία έγινε η βάση για την «Απειρομικρή Ανάλυση» το 1687. Μέχρι το 1742, ο επιστήμονας ολοκλήρωσε επίσης την ανάπτυξη ενός μαθήματος για τον ολοκληρωτικό λογισμό και πρότεινε νέες μεθόδους για την επίλυση συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων.
Ο μεγαλύτερος αδελφός του Johann, Jacob Bernoulli, χρησιμοποίησε την παράγωγο για να βρει την καμπυλότητα μιας επίπεδης καμπύλης γραμμής και επίσης τη χρησιμοποίησε για να μελετήσει τη λογαριθμική σπείρα. Ο Jacob Bernoulli ήταν ο συγγραφέας του ονόματος "integral", το οποίο, στην πραγματικότητα, είναι το αντίθετο ενός διαφορικού.
Οι αδελφοί Μπερνούλι στο γύρισμα του 17ου-18ου αιώνα συνέβαλαν τεράστια στη μελέτη των παραγώγων και έθεσαν τα θεμέλια για τον μαθηματικό λογισμό των παραλλαγών.
Στην περίοδο από τον 17ο έως τον 19ο αιώνα στην Ευρώπη, άλλοι επιφανείς επιστήμονες ασχολήθηκαν επίσης με τη μελέτη των παραγώγων: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Για παράδειγμα, ο σύγχρονος συμβολισμός για ένα διαφορικό - d(x) - εισήχθη από τον Gottfried Wilhelm Leibniz και ο συμβολισμός για ένα παράγωγο με πρώτο - f'(x) - από τον Joseph Louis Lagrange.
Ο ίδιος ο όρος "παράγωγο" χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Lagrange το 1797. Αυτή η λέξη είναι μετάφραση του γαλλικού derivee, το οποίο προέρχεται από το παράγωγο - «προέρχεται».
Στη συνέχεια, πολλοί Ευρωπαίοι μαθηματικοί χρησιμοποίησαν τη σημειογραφία που εισήχθη στη Γαλλία και ο συμβολισμός «δέλτα» (∇) εμφανίστηκε μόλις το 1853, χάρη στον Ιρλανδό μαθηματικό William Rowan Hamilton.
Αναλογία Roller Coaster
Για να διευκολύνετε την κατανόηση των συναρτήσεων και την εύρεση των παραγώγων τους, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια απλή αναλογία με το παγκοσμίου φήμης αξιοθέατο - ένα τρενάκι του λούνα παρκ. Αν τα κοιτάξετε από το πλάι, μπορείτε ακόμη και με το μάτι, χωρίς πολύπλοκους υπολογισμούς, να προσδιορίσετε τα κύρια χαρακτηριστικά της κίνησης του τρόλεϊ: σε ποιες περιοχές θα ανέβει/κατεβαίνει, πού θα επιταχύνει/επιβραδύνει, πόσες φορές θα διασχίσει τα όρια ανάμεσα σε αναβάσεις/κατηφόρες.
Η συνάρτηση που απεικονίζεται στο επίπεδο μπορεί να περιγραφεί με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Σε διαφορετικές περιοχές θα αυξηθεί και θα μειωθεί με διαφορετικούς τρόπους - αυτή η διαδικασία μπορεί να περιγραφεί και να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας μια παράγωγο. Για να γίνει αυτό, εισάγουμε τους ακόλουθους ορισμούς:
- Η αύξηση της συνάρτησης είναι η διαφορά μεταξύ των τιμών στον άξονα y.
- Η αύξηση του ορίσματος είναι η διαφορά μεταξύ των τιμών στον άξονα x.
- Ο ρυθμός αλλαγής μιας συνάρτησης είναι ο λόγος της αύξησής της προς την αύξηση του ορίσματος: dy/dx.
Όσο μικρότερη είναι η αύξηση του ορίσματος x, τόσο μεγαλύτερη είναι η ακρίβεια των υπολογισμών. Η υψηλότερη ακρίβεια επιτυγχάνεται όταν η αύξηση του ορίσματος τείνει στο μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, η εύρεση παραγώγων θα απαιτήσει έναν αριθμό υπολογισμών που τείνουν στο άπειρο (προσαρμοσμένο για ακρίβεια/διαβάθμιση).
Εάν αυτή η εργασία είναι πολύ δύσκολη για ένα άτομο, τότε ένας σύγχρονος υπολογιστής μπορεί να το χειριστεί σε κλάσματα δευτερολέπτου. Αρκεί να χρησιμοποιήσετε μια ειδική διαδικτυακή εφαρμογή που θα βρίσκει την παράγωγο μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας τα εισαγόμενα δεδομένα, ακόμα κι αν περιλαμβάνονται σε σύνθετους τύπους με ημίτονο, συνημίτονα, ρίζες και εκθέτες.