Ableitungsrechner
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In der mathematischen Analyse und Physik wird die Ableitung häufig verwendet und beschreibt komplexe Funktionen und Variablen. Letzteres kann elektrische Spannung, chemische Reaktionen und Bewegungsgeschwindigkeit umfassen.
Das heißt, jede Größe, die sich nur schwer oder gar nicht als konstanter Wert beschreiben lässt. Zum Beispiel die Geschwindigkeit eines fahrenden Autos, das während der Fahrt viele Male beschleunigt und abbremst. Die mathematische Ableitung einer Funktion soll solche Größen beschreiben, systematisieren und analysieren.
Ableitung einer Funktion
Nach der offiziellen Definition ist die Ableitung die Grenze des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement ihres Arguments, wenn dieses gegen Null tendiert. Der Vorgang der Berechnung der Ableitung wird Differenzierung genannt. Und eine Funktion heißt nur dann differenzierbar, wenn sie eine endliche Ableitung hat.
Eine Funktion kann als Abhängigkeit einer Größe von einer anderen beschrieben und in der Koordinatenebene als Linie dargestellt werden. Zur Unterscheidung:
- Nehmen Sie den x-Wert auf der x-Achse.
- Setzen Sie den ausgewählten x-Wert in die Formel y = f(x) ein.
- Erhalten Sie die Koordinaten des Punkts im x-, y-Format.
- Konstruieren Sie einen Punkt mit den Koordinaten x, y.
- Wir wiederholen diesen Vorgang und ersetzen alle anderen x-Werte.
Die Ableitung zeigt, wie oft das Inkrement des y-Werts größer oder kleiner als das Inkrement des x-Werts ist. Das Verhältnis dieser Inkremente wird als dy/dx und die Ableitung als f(x) beschrieben.
Eine kleine Geschichte
Ableitungen wurden bereits im 15. Jahrhundert in der Mathematik eingesetzt, um die Abhängigkeit der Flugreichweite von Projektilen von der Neigung von Geschützen zu bestimmen. Der erste, der diese Technik anwendete, war der italienische Mathematiker Niccolo Fontana Tartaglia.
Und im 17. Jahrhundert begannen die Bernoulli-Brüder aus der Schweiz, sich ernsthaft mit Derivaten zu beschäftigen. Der jüngere Bruder Johann Bernoulli veröffentlichte erstmals eine systematische Darstellung der Differentialrechnung, die 1687 die Grundlage für die „Infinitesimalanalyse“ bildete. Bis 1742 schloss der Wissenschaftler auch die Entwicklung eines Kurses über Integralrechnung ab und schlug neue Methoden zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen vor.
Johanns älterer Bruder, Jacob Bernoulli, nutzte die Ableitung, um die Krümmung einer flachen gekrümmten Linie zu ermitteln, und nutzte sie auch, um die logarithmische Spirale zu studieren. Jacob Bernoulli war der Autor des Namens „Integral“, der eigentlich das Gegenteil eines Differentials ist.
Die Brüder Bernoulli leisteten an der Wende vom 17. zum 18. Jahrhundert einen großen Beitrag zum Studium der Ableitungen und legten den Grundstein für die mathematische Variationsrechnung.
In der Zeit vom 17. bis 19. Jahrhundert beschäftigten sich in Europa auch andere bedeutende Wissenschaftler mit der Erforschung von Derivaten: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Beispielsweise wurde die moderne Notation für ein Differential – d(x) – von Gottfried Wilhelm Leibniz eingeführt und die Notation für eine Ableitung mit einer Primzahl – f'(x) – von Joseph Louis Lagrange.
Der Begriff „Derivat“ selbst wurde erstmals 1797 von Lagrange verwendet. Dieses Wort ist eine Übersetzung des französischen Worts „derivee“, das von derive – „abgeleitet“ stammt.
In der Folge verwendeten viele europäische Mathematiker die in Frankreich eingeführte Notation, und die Notation „Delta“ (∇) erschien erst 1853 dank des irischen Mathematikers William Rowan Hamilton.
Achterbahn-Analogie
Um Funktionen leichter zu verstehen und ihre Ableitungen zu finden, können Sie eine einfache Analogie zur weltberühmten Attraktion verwenden – einer Achterbahn. Wenn Sie sie von der Seite betrachten, können Sie sogar mit dem Auge, ohne komplexe Berechnungen, die Hauptmerkmale der Bewegung des Wagens bestimmen: in welchen Bereichen er sich heben/senken wird, wo er beschleunigen/verlangsamen wird, wie oft es wird die Grenzen zwischen Auf- und Abstiegen überschreiten.
Die in der Ebene dargestellte Funktion kann genauso beschrieben werden. In verschiedenen Bereichen wird es auf unterschiedliche Weise zunehmen und abnehmen – dieser Vorgang kann mithilfe einer Ableitung beschrieben und bestimmt werden. Dazu führen wir die folgenden Definitionen ein:
- Funktionsinkrement ist die Differenz zwischen den Werten auf der y-Achse.
- Das Argument Inkrement ist die Differenz zwischen den Werten auf der x-Achse.
- Die Änderungsrate einer Funktion ist das Verhältnis ihres Inkrements zum Inkrement des Arguments: dy/dx.
Je kleiner die Schrittweite des Arguments x ist, desto höher ist die Genauigkeit der Berechnungen. Die höchste Genauigkeit wird erreicht, wenn das Inkrement des Arguments gegen Null geht. In diesem Fall erfordert die Suche nach Ableitungen eine Reihe von Berechnungen, die gegen Unendlich gehen (angepasst an Genauigkeit/Abstufung).
Wenn diese Aufgabe für einen Menschen zu schwierig ist, kann ein moderner Computer sie in Sekundenbruchteilen erledigen. Es reicht aus, eine spezielle Online-Anwendung zu verwenden, die anhand der eingegebenen Daten die Ableitung einer Funktion ermittelt, auch wenn diese in komplexen Formeln mit Sinus, Kosinus, Wurzeln und Exponenten enthalten sind.