Derivační kalkulačka
![Derivační kalkulačka](/media/images/derivative_calculator.webp)
V matematické analýze a fyzice je derivace široce používána, popisuje složité funkce a proměnné. Ten může zahrnovat elektrické napětí, chemické reakce a rychlost pohybu.
To znamená jakékoli množství, které je obtížné nebo nemožné popsat jako konstantní hodnotu. Například rychlost jedoucího auta, které za jízdy mnohokrát zrychluje a zpomaluje. Matematická derivace funkce je určena k popisu, systematizaci a analýze takových veličin.
Derivace funkce
Podle oficiální definice je derivace limitem poměru přírůstku funkce k přírůstku jejího argumentu, když má druhý sklon k nule. Proces výpočtu derivace se nazývá derivace. A funkce se nazývá diferencovatelná pouze v případě, že má konečnou derivaci.
Funkci lze popsat jako závislost jedné veličiny na druhé a znázornit ji v rovině souřadnic jako čáru. Pro rozlišení:
- Vezměte hodnotu x na ose x.
- Dosaďte vybranou hodnotu x do vzorce y = f(x).
- Získejte souřadnice bodu ve formátu x, y.
- Sestrojte bod se souřadnicemi x, y.
- Tento postup zopakujeme a nahradíme všechny ostatní hodnoty x.
Derivace ukáže, kolikrát je přírůstek hodnoty y větší nebo menší než přírůstek hodnoty x. Poměr těchto přírůstků je popsán jako dy/dx a derivace jako f(x).
Malá historie
Odvození se začalo používat v matematice již v 15. století - k určení závislosti doletu střel na sklonu děl. První, kdo tuto techniku použil, byl italský matematik Niccolo Fontana Tartaglia.
A v 17. století začali bratři Bernoulliové ze Švýcarska seriózně studovat deriváty. Mladší bratr Johann Bernoulli poprvé publikoval systematickou prezentaci diferenciálního počtu, která se v roce 1687 stala základem „Infinitezimální analýzy“. V roce 1742 vědec také dokončil vývoj kurzu o integrálním počtu a navrhl nové metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic.
Johannův starší bratr Jacob Bernoulli použil derivaci k nalezení zakřivení ploché zakřivené čáry a také ji použil ke studiu logaritmické spirály. Byl to Jacob Bernoulli, kdo byl autorem názvu „integrál“, který je ve skutečnosti opakem diferenciálu.
Bratři Bernoulliové na přelomu 17. a 18. století výrazně přispěli ke studiu derivátů a položili základ matematickému variačnímu počtu.
V období od 17. do 19. století v Evropě se studiem derivátů zabývali i další významní vědci: Leibniz, Newton, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Legendre. Například moderní zápis pro diferenciál - d(x) - zavedl Gottfried Wilhelm Leibniz a zápis pro derivaci s prvočíslem - f'(x) - Joseph Louis Lagrange.
Samotný termín „derivát“ poprvé použil Lagrange v roce 1797. Toto slovo je překladem francouzského derivee, které pochází z derivovat - „odvozeno“.
Následně mnoho evropských matematiků používalo notaci zavedenou ve Francii a notace „delta“ (∇) se objevila až v roce 1853 díky irskému matematikovi Williamu Rowanovi Hamiltonovi.
Analogie horské dráhy
Pro snazší pochopení funkcí a hledání jejich odvozenin můžete použít jednoduchou analogii se světoznámou atrakcí – horskou dráhou. Pokud se na ně podíváte ze strany, můžete i okem, bez složitých výpočtů, určit hlavní rysy pohybu vozíku: v jakých oblastech bude stoupat / klesat, kde zrychluje / zpomaluje, kolikrát překročí hranice mezi výstupy a sestupy.
Funkci zobrazenou v rovině lze popsat úplně stejným způsobem. V různých oblastech se bude zvyšovat a snižovat různými způsoby – tento proces lze popsat a určit pomocí derivace. Za tímto účelem zavedeme následující definice:
- Přírůstek funkce je rozdíl mezi hodnotami na ose y.
- Přírůstek argumentu je rozdíl mezi hodnotami na ose x.
- Rychlost změny funkce je poměr jejího přírůstku k přírůstku argumentu: dy/dx.
Čím menší je přírůstek argumentu x, tím vyšší je přesnost výpočtů. Nejvyšší přesnosti je dosaženo, když má přírůstek argumentu tendenci k nule. V tomto případě bude hledání derivací vyžadovat řadu výpočtů směřujících k nekonečnu (upraveno o přesnost/gradaci).
Pokud je tento úkol pro člověka příliš obtížný, pak jej moderní počítač zvládne ve zlomku sekundy. Stačí použít speciální online aplikaci, která pomocí zadaných dat najde derivaci funkce, i když jsou zahrnuta ve složitých vzorcích se siny, kosiny, odmocniny a exponenty.